2. Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Di 08.01.2013 | | Autor: | ralfr |
| Aufgabe | Man zeige:
[mm] $f''(x)=\limes_{h\rightarrow\infty} \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$ [/mm] |
Also ich glaube ich stelle mich da ziemlich blöd bei an.
[mm] $f'(x)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Also ist dann ja
[mm] $f''(x)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$
[/mm]
Wahrscheinlich habe ich dann falsch weiter gemacht mit
[mm] $f'(x+h)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}$
[/mm]
dann eingesetzt:
[mm] $f''(x)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}{h}=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+2h)-f(x+h)-f(x+h)+f(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h}$
[/mm]
Das ist aber leider nicht die gesuchte Lösung. Ich hoffe mir kann dort jemand auf die Sprünge helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ralfr, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So schlecht sieht das doch gar nicht aus.
> Man zeige:
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow\infty} \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}[/mm]
Hier wie bei allen weiteren Grenzwerten muss doch [mm] \blue{h\to0} [/mm] laufen. Ich vermute einen Schreibfehler oder Copy-Paste-Fehler.
> Also ich glaube ich stelle mich da ziemlich blöd bei an.
> [mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
Genau. Das ist die wesentliche Definition, die Du brauchst. Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er zugleich die Ableitung von f(x) an der Stelle x.
> Also ist dann ja
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}[/mm]
Auch richtig.
> Wahrscheinlich habe ich dann falsch weiter gemacht mit
> [mm]f'(x+h)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}[/mm]
Nein, das ist nicht falsch! Es führt nur nicht so ganz zu dem erwünschten Ergebnis.
> dann eingesetzt:
>
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}{h}=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+2h)-f(x+h)-f(x+h)+f(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow\infty}\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h}[/mm]
Das [mm] h^2 [/mm] im Nenner wird nicht richtig dargestellt, wenn Du die ASCII-Hochzahlen verwendest. Außerdem gibt es da ja nur ² und ³, so dass man Sachen wie [mm] e^x, 2^{n+1} [/mm] oder auch nur [mm] x^4 [/mm] nicht darstellen könnte. In LaTeX, das unserem Formeleditor zugrundeliegt, werden Exponenten mit vorangehendem Caretzeichen und in geschweiften Klammern geschrieben:
h^{2} ergibt [mm] h^2. [/mm] Wenn der Exponent wie hier aus einem einzigen Zeichen besteht, können die geschweiften Klammern sogar wegfallen.
Im Prinzip hast Du übrigens schon das Nötige gezeigt, man müsste nur noch nachweisen, dass für [mm] h\to0 [/mm] die beiden Grenzwerte (also der in der Aufgabe vorgegebene und der von Dir bestimmte) auch gleich sind. Das scheint zwar offensichtlich zu sein, ist dann aber doch nicht so einfach.
Wenn Du anders anfängst, kommst Du aber leicht direkt zum Ziel.
Es gilt ja [mm] f'(x)=\lim_{h\to 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\bruch{f(x)-f(x-h)}{h}
[/mm]
Schließlich ist ja gar keine "Laufrichtung" für h angegeben, es könnte sich z.B. auch alternierend der 0 nähern.
Wenn Du nun ansetzt [mm] f''(x)=\lim_{x\to 0}\bruch{\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}-\bruch{f(x)-f(x-h)}{h}}{h}=\cdots...
[/mm]
> Das ist aber leider nicht die gesuchte Lösung. Ich hoffe
> mir kann dort jemand auf die Sprünge helfen.
...dann bekommst Du genau die gesuchte Darstellung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das kannst Du sogar tun, wir wüssten es nur gern. Schon damit nicht zwei Freiwillige in verschiedenen Foren den gleichen Arbeitsaufwand treiben.
Herzliche Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Di 08.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Oh ja :) das mit dem limes h gegen unendlich war 1 Fehler den ich dann einfach immer wieder kopiert habe :)
Es ist wirklich nett von dir, dass du mir das mit dem Latex erklärt hast jetzt weiß ich es :)
Ah ok auf daas bin ich nicht gekommen^^ Vielen dank für die schnelle und gründliche Antwort :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Di 08.01.2013 | | Autor: | reverend |
> Ah ok auf daas bin ich nicht gekommen^^ Vielen dank für
> die schnelle und gründliche Antwort :)
Oh, schnell geht hier noch anders, aber man weiß halt nie, wann wieder jemand da ist, der Lust und Zeit zu antworten hat. Meistens innerhalb ein, zwei Stunden, oft sogar in Minuten, aber manchmal auch erst nach fast einem Tag... Probiers aus.
Ansonsten: gern geschehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 08.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Was mir aber gerade noch aufgefallen ist, dass du
[mm] $f'(x+h)=\limes_{h\rightarrow\0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Ich habe aber jetzt gedacht, dass wenn man nach meiner 1. Gleichung geht auf:
$ [mm] f'(x+h)=\limes_{h\rightarrow\0}\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h} [/mm] $
kommt.
Wie bist du jetzt auf die obrige Gleichung gekommen?
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Hallo nochmal,
ja, das ist der Trick...
> Was mir aber gerade noch aufgefallen ist, dass du
> [mm]f'(x+h)=\limes_{h\rightarrow\0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> Ich habe aber jetzt gedacht, dass wenn man nach meiner 1.
> Gleichung geht auf:
> [mm]f'(x+h)=\limes_{h\rightarrow\0}\frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}[/mm]
> kommt.
>
> Wie bist du jetzt auf die obrige Gleichung gekommen?
Die allerobrigste Gleichung  geht genauso wie [mm] f'(x)=\lim_{h\to 0}\bruch{f(x)-f(x-h)}{h}.
[/mm]
Hier also [mm] f'(x+h)=\lim_{h\to 0}\bruch{f(x+h)-f(x+h-h)}{h}
[/mm]
Grüße
reverend
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