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Guten Tag Leute!
Ich höre Analysis und ich bin bei den Übungsaufgaben auf 2. Aufgaben gestossen die mir Kopfschmerzen bereiten.
Sie sind mir sehr wichtig, deshalb stelle ich die Frage hier, ob mir jemand zeigen kann wie ich das zeigen kann.
1.
Sei [mm] C_{\IR}([0,1]) [/mm] der Banachraum aller stetigen Funktionen f: [0,1] --> [mm] \IR. [/mm] Definiere die Abbildung
[mm] F:C_{\IR}([0,1]) [/mm] --> [mm] C_{\IR}([0,1]), [/mm] f-->F(f) mit F(f)(x)=f(x/2).
Zeige dass F in [mm] \gamma(C_{\IR}([0,1])) [/mm] liegt mit ||F||=1.
2.
Eine lineare stetige Abbildung A [mm] \in \gamma(V) [/mm] eines Banachraums V heisst Isometrie, wenn für alle v [mm] \in [/mm] V gilt ||Av||=||v||. Zeige, dass jede Isometrie injektiv ist.
Die 2. sieht zumindest einfacher aus. Muss ich aus V noch ein Element x nehmen und dann Axiome prüfen?!
Danke euch!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 So 15.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Prinzessin!
Wie ist bei euch [mm] $\gamma(V)$ [/mm] für einen Banachraum $V$ definiert?
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 So 15.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Meine Frage hast du leider nicht beantwortet, denn ich wollte ja nicht wissen, was ein Banachraum ist (das weiß ich noch so gerade  ), sondern, was bei euch [mm] $\gamma(X)$ [/mm] für einen Banachraum $X$ ist.
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass es sich um [mm] ${\cal L}(X)$ [/mm] handelt, also den Raum der stetigen, linearen Abbildungen $f:X [mm] \to [/mm] X$.
Weiterhin ist nicht klar (das hättest du mal dazuschreiben können), mit welcher Norm [mm] $C_{\IR}([0,1])$ [/mm] versehen ist. Ich gehe mal davon aus, dass dies die Supremumsnorm ist.
Dann ist zu zeigen:
[mm] $\Vert [/mm] F [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sup\limits_{f \in C_{\IR}([0,1])} \frac{\Vert F(f) \Vert}{\Vert f \Vert} [/mm] = [mm] \sup\limits_{f \in C_{\IR}([0,1])} \frac{\sup\limits_{x \in [0,1]} \left|f\left( \frac{x}{2} \right) \right|}{\Vert \sup\limits_{x \in [0,1]} |f(x)| \Vert} [/mm] = 1$.
Offenbar gilt:
[mm] $\sup\limits_{f \in C_{\IR}([0,1])} \frac{\sup\limits_{x \in [0,1]} \left|f\left( \frac{x}{2} \right) \right|}{\sup\limits_{x \in [0,1]} |f(x)| } \le [/mm] 1$.
Aber für die Funktion
$f : [mm] \begin{array}{ccc} [0,1] & \to & \IR \\[5pt] x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} x & , & \mbox{falls} \ 0 \le x \le \frac{1}{4},\\[5pt] \frac{1}{2} - x & , & \mbox{falls} \ \frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}, \\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst} \end{array} \right. \end{array}$
[/mm]
gilt:
$f [mm] \in C_{\IR}([0,1])$ [/mm] und
[mm] $\frac{\sup\limits_{x \in [0,1]} \left|f\left( \frac{x}{2} \right) \right|}{\sup\limits_{x \in [0,1]} |f(x)| } [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} [/mm] = 1$,
so dass ingesamt
[mm] $\Vert [/mm] F [mm] \Vert=1$
[/mm]
folgt.
> 2.
> Eine lineare stetige Abbildung A [mm]\in \gamma(V)[/mm] eines
> Banachraums V heisst Isometrie, wenn für alle v [mm]\in[/mm] V gilt
> ||Av||=||v||. Zeige, dass jede Isometrie injektiv ist.
Naja, das ist wirklich simpel.  Es gilt ja:
(*) [mm] $\Vert [/mm] Av- Aw [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] A(v-w) [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] v-w [mm] \Vert$.
[/mm]
Aus $Av = Aw$ folgt unmittelbar [mm] $\Vert [/mm] Av-Aw [mm] \Vert=0$ [/mm] und daraus gemäß (*): [mm] $\Vert [/mm] v-w [mm] \Vert=0$. [/mm] Aus der Normeigenschaft folgt $v-w=0$, also $v=w$.
Viele Grüße
Stefan
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Danke dir!!!
Die 2. ist mir recht klar! bei der 1. werde ich noch mehr nachschauen müssen!
Danke dir für die Hilfe!!!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:54 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Prinzessin83 |
Hallo Stefan und alle anderen,
nun bin ich bei einem weiteren Aufgabenteil hängen geblieben. Also es ist mir unklar wie ich das zeigen soll.
Die "kleine" Frage sieht so aus:
Zeige dass gilt F [mm] \circ [/mm] G= [mm] \gamma_{C_{\IR}([0,1])} [/mm] aber G [mm] \circ [/mm] F [mm] \not=\gamma_{C_{\IR}([0,1])}
[/mm]
Muss man das auch mit der Supremumsnorm machen?? Nein oder ? Weil mir das gar nichts bringt...
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Prinzessin!
Die Frage können wir dir leider erst dann beantworten, wenn wir wissen, wie $G$ aussieht...
Viele Grüße
Stefan
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http://analysis.math.uni-mannheim.de/lehre/ss05/analysis2/skript/Skript_11_05_05.pdf