2 Ebenen bilden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Superente |
Hallo,
hab mal wieder ein Problem ;).
Ich habe zwei Geraden die schneiden sich in einem Punkt und bilden auch einen Schnittwinkel. Beide habe ich berechnet. Jetzt soll ich zwei Ebenen bilden die den gleichen Schnittwinkel haben. Ich dachte mit eine Ebene wird durch drei Punkte bestimmt. Also hab ich den Ortsvektor und den Schnittpunkt, und ein Punkt fehlt noch. Soo... nachdem ich mit einem Freund gesprochen habe, meinte er dass ich viel zu umständlich, ich soll doch den Normalenvektor bilden aus den Richtungsvektoren. Erm ja... stimmt das? Und wenn ja, wie soll das gehen?
Vielen Dank, schon mal für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Hallo Superente.
> hab mal wieder ein Problem ;).
>
> Ich habe zwei Geraden die schneiden sich in einem Punkt und
> bilden auch einen Schnittwinkel. Beide habe ich berechnet.
> Jetzt soll ich zwei Ebenen bilden die den gleichen
> Schnittwinkel haben. Ich dachte mit eine Ebene wird durch
> drei Punkte bestimmt. Also hab ich den Ortsvektor und den
> Schnittpunkt, und ein Punkt fehlt noch. Soo... nachdem ich
> mit einem Freund gesprochen habe, meinte er dass ich viel
> zu umständlich, ich soll doch den Normalenvektor bilden aus
> den Richtungsvektoren. Erm ja... stimmt das? Und wenn ja,
> wie soll das gehen?
Wie lautet die Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden mit den Richtungsvektoren u und v?
$cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \br{\vec{u}*\vec{v}}{|\vec{u}|*|\vec{v}|}$
[/mm]
Und wie lautet die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen?
$cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \br{\vec{n_1}*\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|*|\vec{n_2}|}$
[/mm]
Wenn die Schnittwinkel nun gleich bleiben sollen, ist der Richtungsvektor u wohl der Normalenvektor [mm] n_1 [/mm] der einen Ebene und der Richtungsvektor v der Normalenvektor [mm] n_2 [/mm] der anderen Ebene.
Ist ja auch logisch, wenn du den Schnittwinkel zweier Ebenen haben möchtest, machst du das eben mit dem Normalenvektor. In diesem Fall die beiden Richtungsvektoren.
Und nun kannst du für deine Koordinatenform oder Hessesche Normalenform jeden beliebigen Punkt verwenden, da für den Schnittwinkel nur die Normalenvektoren interessant sind.
> Vielen Dank, schon mal für die Hilfe :)
Und um noch einmal kurz auf deinen Ansatz zu sprechen zu kommen. Wenn du den Normalenvektor hast, und deine Koordinatenform, kannst du daraus auch eine Parametergleichung machen. Okay, das wolltest du aber nicht wissen 
Ohne den Normalenvektor zu kennen, wüsste ich da jetzt auf anhieb keine Methode. Falls es dir aber darum gehen sollte, dann kannst du die Frage ja wieder auf unbeantwortet stellen (mit der entsprechenden Mitteilung, bitte, weil sonst weiß niemand, was gefragt ist)
MfG!
Disap
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Ok ich merke gerade dass ich etwas durcheinander bringe.
Es gibt die Koordinatengleichung, die Normalform und die HNF.
Was sind die Unterschiede?
Für mich war an sich die Koordinatengleichung immer gleich der Normalform
[mm] ax_{1}+ bx_{2}+bx_{3}=d [/mm] und daraus konnte ich immer den Normalenvektor ablesen, also [mm] \vec{n}=\vektor{a \\ b \\ c}.
[/mm]
>Wenn die Schnittwinkel nun gleich bleiben sollen, ist der Richtungsvektor >u wohl der Normalenvektor $ [mm] n_1 [/mm] $ der einen Ebene und der >Richtungsvektor v der Normalenvektor $ [mm] n_2 [/mm] $ der anderen Ebene.
Ok, also sage ich mein u ist gleich dem [mm] \vec{n_{1}} [/mm] und mein v gleich [mm] \vec{n_{2}}. [/mm] So, jetzt kann ich das in die Koordinatnform bringen, so wie oben beschrieben durch einfaches ablesen. Aber wie geh ich jetzt weiter vor? Das kann doch net alles sein oder? Und was ist der unterschied zw. der Koordinatenform und der Normalenform?
(nochmals Dank für die extrem schnelle Antwort!! :) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Disap |
Servus.
> Ok ich merke gerade dass ich etwas durcheinander bringe.
>
> Es gibt die Koordinatengleichung, die Normalform und die
> HNF.
Als ich HNF sagte, meinte ich die Normalenform. Bis auf dem d statt der 0 wären die aber identisch
> Was sind die Unterschiede?
>
> Für mich war an sich die Koordinatengleichung immer gleich
> der Normalform
>
> [mm]ax_{1}+ bx_{2}+bx_{3}=d[/mm] und daraus konnte ich immer den
> Normalenvektor ablesen, also [mm]\vec{n}=\vektor{a \\ b \\ c}.[/mm]
Nicht ganz, denn du hast dich leider vertippt, du hast geschrieben b_x3. Also müsste der Vektor auch [mm] \vec{n}=\vektor{a \\ b \\ b} [/mm] heißen Aber das ist ja ein Tippfehler.
Normalform sieht noch etwas anders aus
$[ [mm] \vex{x}-\vec{a}]*\vec{n} [/mm] = 0$
[mm] \vec{a} [/mm] ist ein beliebiger Punkt der Ebene, Vektor n ist der Normalenvektor. Vektor x ist unbekannt, ist das selbe wie [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}.
[/mm]
Wenn man das ganze auflöst, kommt man auch auf die Koordinatenform
$[ [mm] \vex{x}-\vec{a}]*\vec{n} [/mm] = 0$
Ausmultiplizieren
$ [mm] \vex{x}*\vec{n}-\vec{a}*\vec{n} [/mm] = 0 // [mm] +-\vec{a}*\vec{n}$
[/mm]
$ [mm] \vex{x}*\vec{n} [/mm] = [mm] \vec{a}*\vec{n} [/mm] $
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}*\vektor{n_1\\n_2\\n_3}= \vektor{a_1\\a_2\\a_3}*\vektor{n_1\\n_2\\n_3}$
[/mm]
Skalarprodukt bringt dich auf die Form
[mm] $x_1*n_1+x_2*n_2+x_3*n_3 [/mm] = [mm] a_1*n_1+a_2*n_2+a_3*n_3 [/mm] $
[mm] $x_1*n_1+x_2*n_2+x_3*n_3 [/mm] = d $
Und bei der Hesseschen Normalenform bildet man eben noch den normierten Vektor, indem man durch den Betrag des Normalenvektors teilt. Das könnte ich jetzt ausschmücken, aber möchte ich jetzt nicht. Buch macht klug
> >Wenn die Schnittwinkel nun gleich bleiben sollen, ist der
> Richtungsvektor >u wohl der Normalenvektor [mm]n_1[/mm] der einen
> Ebene und der >Richtungsvektor v der Normalenvektor [mm]n_2[/mm] der
> anderen Ebene.
>
> Ok, also sage ich mein u ist gleich dem [mm]\vec{n_{1}}[/mm] und
> mein v gleich [mm]\vec{n_{2}}.[/mm] So, jetzt kann ich das in die
> Koordinatnform bringen, so wie oben beschrieben durch
> einfaches ablesen. Aber wie geh ich jetzt weiter vor? Das
> kann doch net alles sein oder? Und was ist der unterschied
> zw. der Koordinatenform und der Normalenform?
Also, für die Koordinatenform hast du ja schon alles bis auf das d gegeben
$E: [mm] a_1*x_1+a_2*x_2+a_3*x_3 [/mm] = d$
mit [mm] \vec{n}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}
[/mm]
Und das d darfst du dir rein theoretisch aussuchen. Du sagst einfach, die Ebene geht durch den Punkt (0|0|0)
Dann ergibt sich d=0
Denn wie gesagt, für den Schnittwinkel zweier Ebenen spielt das "d" überhaupt keine Rolle, sondern lediglich nur die Normalenvektoren.
Es gibt also nicht nur zwei Ebenen, die sich mit diesem Schnittwinkel schneiden.
Alles klar?
MfG!
Disap
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