2 Fragen zu konv. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.) Ist [mm] a_{n} \ge a_{n+1} [/mm] > 0 und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent so ist [mm] na_{n} [/mm] eine Nullfolge.
2.) Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge positiver Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = a. Zeige, dass dann [mm] \wurzel[n]{a_{n}} \to [/mm] a, n [mm] \to \infty [/mm] |
Hallo,
ich komme leider bei den o.g. Aufgaben nicht wirklich weiter.
zu 1.) Aus der ersten Ungleichung weiß man ja, dass [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend ist und stets größer 0. Also konvergiert sie. Da die unendliche Reihe konvergent ist muss [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge sein. Doch wie kann ich nun zeigen, dass [mm] na_{n} [/mm] auch eine Nullfolge ist. Leider ist n ja unbeschränkt und man kann die Grenzwertsätze nicht so anwenden, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n * 0 = 0 ist.
Ein Tipp zu der Aufgabe war, es mit dem Cauchy-Kriterium zu beweisen. Da bin ich bisher nur soweit, dass man [mm] na_{n} [/mm] auch schreiben kann als [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] = [mm] \underbrace{a_{n}+a_{n}+...+a_{n}}_{n-mal}. [/mm] Andererseits, kann man auch die Summe so schreiben: [mm] \summe_{k=n}^{2n} a_{k}. [/mm] So kommt man ehr in die Richtung des Cauchy-Kriteriums. Aber wirklich weiter komme ich jetzt nicht.
Zur 2. Aufgabe habe ich leider keinen Ansatz, ich hoffe da kann mir jemand einen Denkanstoß geben.
Danke, gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 23.11.2007 | | Autor: | lenz |
was ich weiß ist aber keine sichere auskunft ist
also bei 1 gilt erstmal wenn die reihe a(n) konvergiert ist a(n) nullfolge und dann kann man glaube ich einfach den satz,falls ihr ihn hattet,das der grenzwert des produktes
zweier konvergenter folgen a(n) [mm] \rightarrow [/mm] a und b(n) [mm] \rightarrow [/mm] b= a*b
also in deinem beispiel a*a*a.. =0*0*0 benutzen
ich weiß allerdigs nicht ob das schon dran war bei euch oder ob ihr das hier beweisen sollt
gruß lenz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Fr 23.11.2007 | | Autor: | lenz |
hm sorry war totaler unsinn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Fr 23.11.2007 | | Autor: | lenz |
wüßte eigentlich nicht warum der grenzwert satz nicht doch greifen sollte
da n ja nur gegen unendlich geht aber nicht unendlich wird sollte der 0 faktor eigentlich
überwiegen ist aber sehr wahrscheinlich nicht die erwartete antwort
lenz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Sa 24.11.2007 | | Autor: | XPatrickX |
Das geht leider nicht so einfach, Gegenbeispiel:
[mm] a_{n} [/mm] = n* [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
= [mm] \infty [/mm] * 0
= 0
Widerspruch zu oben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> 1.) Ist [mm]a_{n} \ge a_{n+1}[/mm] > 0 und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
> konvergent so ist [mm]na_{n}[/mm] eine Nullfolge.
>
> 2.) Sei [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge positiver Zahlen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] = a.
> Zeige, dass dann [mm]\wurzel[n]{a_{n}} \to[/mm] a, n [mm]\to \infty[/mm]
>
> Hallo,
> ich komme leider bei den o.g. Aufgaben nicht wirklich
> weiter.
>
> zu 1.) Aus der ersten Ungleichung weiß man ja, dass [mm]a_{n}[/mm]
> monoton fallend ist und stets größer 0. Also konvergiert
> sie. Da die unendliche Reihe konvergent ist muss [mm]a_{n}[/mm] eine
> Nullfolge sein. Doch wie kann ich nun zeigen, dass [mm]na_{n}[/mm]
> auch eine Nullfolge ist. Leider ist n ja unbeschränkt und
> man kann die Grenzwertsätze nicht so anwenden, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n * 0 = 0 ist.
> Ein Tipp zu der Aufgabe war, es mit dem Cauchy-Kriterium zu
> beweisen. Da bin ich bisher nur soweit, dass man [mm]na_{n}[/mm]
> auch schreiben kann als [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm] = [mm]\underbrace{a_{n}+a_{n}+...+a_{n}}_{n-mal}.[/mm]
Das ist gar nicht schlecht, außer dass du die Summe falsch geschrieben hast:
[mm]\summe_{k=1}^{n} a_{\red{n}} = \underbrace{a_{n}+a_{n}+...+a_{n}}_{n-mal}=na_n.[/mm]
Jetzt vergleiche die Summe links mit [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm]!
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Stimmt, der Index ist tatsächlich falsch. Danke.
>
> Jetzt vergleiche die Summe links mit [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm]!
>
Das wäre ja: [mm] a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}
[/mm]
Aber wie komme ich da jetzt weiter? Leuchtet mir leider nicht ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo!
>
> Stimmt, der Index ist tatsächlich falsch. Danke.
>
> >
> > Jetzt vergleiche die Summe links mit [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm]!
>
> >
> Das wäre ja: [mm]a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}[/mm]
>
>
> Aber wie komme ich da jetzt weiter? Leuchtet mir leider
> nicht ein.
Benutze die Voraussetzung: [mm]a_{n}\ge a_{n+1} > 0[/mm] für alle Werte von n. Damit kannst du [mm]a_1,\dots,a_{n-1}[/mm] mit [mm]a_n[/mm] vergleichen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
das heißt ja also dann, dass
[mm] a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} \ge \underbrace{a_{n}+a_{n}+a_{n}+...+a_{n} }_{n Summanden}
[/mm]
Und da [mm] a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist muss dann auch [mm] \underbrace{a_{n}+a_{n}+a_{n}+...+a_{n} }_{n Summanden} [/mm] ein Nullfolge sein. Da es ja stets kleiner, gleich ist. Aber immer noch größer als Null.
Das ist es oder?
(Ich werde das dann noch ein bisschen schöner mit Summenzeichen schreiben.  )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
Ja, das ist das Argument, der Rest ist schön Aufschreiben.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Sa 24.11.2007 | | Autor: | XPatrickX |
Vielen Dank Rainer für deine Hilfe!
Ich hoffe es gibt noch jemanden, der mir bei der zweiten Aufgabe helfen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 24.11.2007 | | Autor: | XPatrickX |
Zu 2.) habe ich noch einen Tip, aber damit kann ich nicht wikrlich was anfangen. Aber vielleicht hilft es ja jemandem.
b> a. Zeige, dass zu jedem [mm] \delta [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} [/mm] existiert, sodass
(1) [mm]\wurzel[n]{a_{n}} < b + \delta [/mm] [mm] \forall n \ge n_{0} [/mm]
Behauptung für a = 0
Ist a > 0 und 0 < c < a so zeigen, dass zu jedem [mm] \delta [/mm] > 0 ein [mm] n_{0}* [/mm] existiert, sodass
(2) [mm]\wurzel[n]{a_{n}} < c - \delta [/mm][mm] \forall n \ge n_{0}*[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Mo 26.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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