2 Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend zusammen
Ich hier 2 Geraden und muss den Winkel berechnen, den sie einschliessen
g: [mm] \vektor{-2 \\ 1\\ 3} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{3 \\ 2\\ 3}
[/mm]
h: [mm] \vektor{-1 \\ -1\\ -6} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 0\\ 3}
[/mm]
Wie muss ich nun vorgehen, um den Winkel zu berechnen?
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Hallo blackkilla,
> Guten Abend zusammen
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> Ich hier 2 Geraden und muss den Winkel berechnen, den sie
> einschliessen
>
> g: [mm]\vektor{-2 \\ 1\\ 3}[/mm] + [mm]\gamma \vektor{3 \\ 2\\ 3}[/mm]
>
> h: [mm]\vektor{-1 \\ -1\\ -6}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 0\\ 3}[/mm]
>
> Wie muss ich nun vorgehen, um den Winkel zu berechnen?
>
Zunächst musst Du zeigen, dass sich die Geraden schneiden.
Dann kannst Du den Schnittwinkel berechnen.
Gruss
MathePower
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Also muss ich die Geraden gleichsetzen? Und dann wie berechne ich den WINKEL?
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Hallo blackkilla,
> Also muss ich die Geraden gleichsetzen?
Ja, genau. Nur wenn sie sich schneiden, schließen sie auch einen Winkel ein. Deswegen sollst Du das ja zuerst prüfen.
> Und dann wie
> berechne ich den WINKEL?
Da gibt es zwei Möglichkeiten, die eine über das Skalarprodukt, die andere über das Kreuzprodukt (Vektorprodukt). Bei beiden ist eine Aussage über den eingeschlossenen Winkel zu treffen. Um ihn genau zu identifizieren, ist allerdings der Weg über das Skalarprodukt hilfreicher. Da bekommt man zwei Lösungen, die sich aber zu 360° bzw. zu [mm] 2\pi [/mm] addieren.
Grüße
reverend
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Kann ich hier aber nicht einfach die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Es gilt für den  Winkel: [mm]\cos(\alpha) \ = \ \bruch{\vec{u}*\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|*\left|\vec{v}\right|}[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann ich hier aber nicht einfach die Formel zur Berechnung
> des Schnittwinkels anwenden?
ja, die von Loddar erwähnte, wobei [mm] $\vec{u}$ [/mm] der Richtungsvektor der ersten
Geraden ist, der in der von Dir gegebenen Geradendarstellung auftaucht, und
[mm] $\vec{v}$ [/mm] analog der Richtungsvektor der zweiten Geraden ist, den man der
Parameterdarstellung entnimmt (beachte, dass Richtungsvektoren i.a. nicht
eindeutig sind).
Nichtsdestotrotz macht das nur dann Sinn, wenn die Geraden sich überhaupt
auch schneiden...
P.S. Mal eine alternative Überlegung, warum sich die Geraden schneiden:
> g: $ [mm] \vektor{-2 \\ 1\\ 3} [/mm] $ + $ [mm] \gamma \vektor{3 \\ 2\\ 3} [/mm] $
>
> h: $ [mm] \vektor{-1 \\ -1\\ -6} [/mm] $ + $ [mm] \mu \vektor{2 \\ 0\\ 3} [/mm] $
Man kann ja mit [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $h\,$ [/mm] etwa eine Ebene bilden wie folgt:
[mm] $$E:\;\;\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-2 \\ 1\\ 3}+\alpha \vektor{3 \\ 2\\ 3}+\beta*\vektor{2 \\ 0\\ 3}\;\;\;(\alpha,\beta \in \IR)\,.$$
[/mm]
Genau dann, wenn die Geraden sich schneiden, gehört [mm] $\vektor{-1 \\ -1\\ -6}$ [/mm] zu dieser Ebene. Und
wenn man [mm] $E\,$ [/mm] noch etwa in die Hessesche Normalform überführt (oder
einfach mithilfe einer Gleichung [mm] $ax_1+bx_2+cx_3=d$ [/mm] beschreibt), wird das
sehr einfach. Und dabei hilft das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der
Ebene in obiger Parameterdarstellung.
P.S. Ich habe gerade nachgerechnet, dass diese beiden Geraden sich nicht
schneiden können. Kontrollierst Du bitte nochmal, ob Du sie richtig angegeben
hast (z.B. könnte anstatt [mm] $(2,0,3)^T$ [/mm] dort [mm] $(2,0,\,-\,3)^T$ [/mm] stehen)?!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 16.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Kann ich hier aber nicht einfach die Formel zur Berechnung
> > des Schnittwinkels anwenden?
>
> ja, die von Loddar erwähnte, wobei [mm]\vec{u}[/mm] der
> Richtungsvektor der ersten
> Geraden ist, der in der von Dir gegebenen
> Geradendarstellung auftaucht, und
> [mm]\vec{v}[/mm] analog der Richtungsvektor der zweiten Geraden
> ist, den man der
> Parameterdarstellung entnimmt (beachte, dass
> Richtungsvektoren i.a. nicht
> eindeutig sind).
>
> Nichtsdestotrotz macht das nur dann Sinn, wenn die Geraden
> sich überhaupt
> auch schneiden...
>
> P.S. Mal eine alternative Überlegung, warum sich die
> Geraden schneiden:
>
> > g: [mm]\vektor{-2 \\
1\\
3}[/mm] + [mm]\gamma \vektor{3 \\
2\\
3}[/mm]
> >
> > h: [mm]\vektor{-1 \\
-1\\
-6}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\
0\\
3}[/mm]
>
> Man kann ja mit [mm]g\,[/mm] und [mm]h\,[/mm] etwa eine Ebene bilden wie
> folgt:
> [mm]E:\;\;\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{-2 \\
1\\
3}+\alpha \vektor{3 \\
2\\
3}+\beta*\vektor{2 \\
0\\
3}\;\;\;(\alpha,\beta \in \IR)\,.[/mm]
>
> Genau dann, wenn die Geraden sich schneiden, gehört
> [mm]\vektor{-1 \\
-1\\
-6}[/mm] zu dieser Ebene. Und
> wenn man [mm]E\,[/mm] noch etwa in die Hessesche Normalform
> überführt (oder
> einfach mithilfe einer Gleichung [mm]ax_1+bx_2+cx_3=d[/mm]
> beschreibt), wird das
> sehr einfach. Und dabei hilft das Kreuzprodukt der
> Richtungsvektoren der
> Ebene in obiger Parameterdarstellung.
>
> P.S. Ich habe gerade nachgerechnet, dass diese beiden
> Geraden sich nicht
> schneiden können. Kontrollierst Du bitte nochmal, ob Du
> sie richtig angegeben
> hast (z.B. könnte anstatt [mm](2,0,3)^T[/mm] dort [mm](2,0,\,-\,3)^T[/mm]
> stehen)?!
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
man kann auch für windschiefe Geraden einen Winkel zwischen den Geraden angeben.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
>
> > Hallo,
> >
> > > Kann ich hier aber nicht einfach die Formel zur Berechnung
> > > des Schnittwinkels anwenden?
> >
> > ja, die von Loddar erwähnte, wobei [mm]\vec{u}[/mm] der
> > Richtungsvektor der ersten
> > Geraden ist, der in der von Dir gegebenen
> > Geradendarstellung auftaucht, und
> > [mm]\vec{v}[/mm] analog der Richtungsvektor der zweiten Geraden
> > ist, den man der
> > Parameterdarstellung entnimmt (beachte, dass
> > Richtungsvektoren i.a. nicht
> > eindeutig sind).
> >
> > Nichtsdestotrotz macht das nur dann Sinn, wenn die Geraden
> > sich überhaupt
> > auch schneiden...
> >
> > P.S. Mal eine alternative Überlegung, warum sich die
> > Geraden schneiden:
> >
> > > g: [mm]\vektor{-2 \\
1\\
3}[/mm] + [mm]\gamma \vektor{3 \\
2\\
3}[/mm]
>
> > >
> > > h: [mm]\vektor{-1 \\
-1\\
-6}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\
0\\
3}[/mm]
> >
> > Man kann ja mit [mm]g\,[/mm] und [mm]h\,[/mm] etwa eine Ebene bilden wie
> > folgt:
> > [mm]E:\;\;\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{-2 \\
1\\
3}+\alpha \vektor{3 \\
2\\
3}+\beta*\vektor{2 \\
0\\
3}\;\;\;(\alpha,\beta \in \IR)\,.[/mm]
>
> >
> > Genau dann, wenn die Geraden sich schneiden, gehört
> > [mm]\vektor{-1 \\
-1\\
-6}[/mm] zu dieser Ebene. Und
> > wenn man [mm]E\,[/mm] noch etwa in die Hessesche Normalform
> > überführt (oder
> > einfach mithilfe einer Gleichung [mm]ax_1+bx_2+cx_3=d[/mm]
> > beschreibt), wird das
> > sehr einfach. Und dabei hilft das Kreuzprodukt der
> > Richtungsvektoren der
> > Ebene in obiger Parameterdarstellung.
> >
> > P.S. Ich habe gerade nachgerechnet, dass diese beiden
> > Geraden sich nicht
> > schneiden können. Kontrollierst Du bitte nochmal, ob
> Du
> > sie richtig angegeben
> > hast (z.B. könnte anstatt [mm](2,0,3)^T[/mm] dort
> [mm](2,0,\,-\,3)^T[/mm]
> > stehen)?!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
> Hallo Marcel,
> man kann auch für windschiefe Geraden einen Winkel
> zwischen den Geraden angeben.
> Gruß Abakus
okay - danke für die Erinnerung, vermutlich meint man dann auch einfach den
Winkel zwischen entsprechenden Richtungsvektoren. (Geometrisch läßt sich
das sicher auch interpretieren - man verschiebt einen Richtungsvektor dann
sicher entlang einer Ebene senkrecht zur Geraden, die zu dem
Richtungsvektor gehört, bis man zur anderen Geraden gelangt, bspw. ...)
Aber sagt man dann auch, dass die Geraden "einen Winkel einschließen"?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mi 16.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus, hallo Marcel,
das könnte eine fruchtlose Diskussion werden, aber ich bin da anderer Meinung.
> > man kann auch für windschiefe Geraden einen Winkel
> > zwischen den Geraden angeben.
> > Gruß Abakus
Das kann man m.E. nicht.
> okay - danke für die Erinnerung, vermutlich meint man dann
> auch einfach den
> Winkel zwischen entsprechenden Richtungsvektoren.
Den kann man natürlich angeben.
> (Geometrisch läßt sich
> das sicher auch interpretieren - man verschiebt einen
> Richtungsvektor dann
> sicher entlang einer Ebene senkrecht zur Geraden, die zu
> dem
> Richtungsvektor gehört, bis man zur anderen Geraden
> gelangt, bspw. ...)
> Aber sagt man dann auch, dass die Geraden "einen Winkel
> einschließen"?
Soweit ich sehe, kann man das eben nicht sagen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo abakus, hallo Marcel,
>
> das könnte eine fruchtlose Diskussion werden, aber ich bin
> da anderer Meinung.
>
> > > man kann auch für windschiefe Geraden einen Winkel
> > > zwischen den Geraden angeben.
> > > Gruß Abakus
>
> Das kann man m.E. nicht.
>
> > okay - danke für die Erinnerung, vermutlich meint man dann
> > auch einfach den
> > Winkel zwischen entsprechenden Richtungsvektoren.
>
> Den kann man natürlich angeben.
na, aber dann könnte man generell einfach definieren, dass dieser Winkel
i.a. der Winkel zweier (auch windschiefer) Geraden sei. Ob das bei
windschiefen Geraden dann geometrisch sinnvoll ist, sei mal dahingestellt.
(Wobei ich hier immer so schön von "dem Winkel" rede, ohne genau zu sagen,
welchen der beiden Winkel ich eigentlich meine...)
> > (Geometrisch läßt sich
> > das sicher auch interpretieren - man verschiebt einen
> > Richtungsvektor dann
> > sicher entlang einer Ebene senkrecht zur Geraden, die
> zu
> > dem
> > Richtungsvektor gehört, bis man zur anderen Geraden
> > gelangt, bspw. ...)
> > Aber sagt man dann auch, dass die Geraden "einen Winkel
> > einschließen"?
>
> Soweit ich sehe, kann man das eben nicht sagen.
Ja, das ist auch mein Gefühl: Dieses "einschließen" bedeutet für mich, dass
die Geraden sich auch irgendwo treffen müssen. Wir sind jetzt also bei
mathematisch/geometrischen Feinheiten, Begrifflichkeiten und beim
Sprachgebrauch angekommen. Aber ich glaube, im Wesentlichen sehe ich das
genau so wie Du, reverend. Vielleicht ist das alles aber auch wirklich nur
Definitionssache ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Do 17.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> > > vermutlich meint man dann auch einfach den
> > > Winkel zwischen entsprechenden Richtungsvektoren.
> >
> > Den kann man natürlich angeben.
>
> na, aber dann könnte man generell einfach definieren, dass
> dieser Winkel
> i.a. der Winkel zweier (auch windschiefer) Geraden sei.
Ja, das könnte man. Ich habe nur den Eindruck, dass diese Definition nicht gebräuchlich ist.
> Ob das bei
> windschiefen Geraden dann geometrisch sinnvoll ist, sei mal
> dahingestellt.
> (Wobei ich hier immer so schön von "dem Winkel" rede,
> ohne genau zu sagen,
> welchen der beiden Winkel ich eigentlich meine...)
Wenn die beiden eingeschlossenen Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \hat{\alpha} [/mm] sind, dann gilt ja [mm] \alpha+\hat{\alpha}=2\pi. [/mm] Soweit, so langweilig.
Dann gibt es wohl vier Möglichkeiten:
1) Wir definieren den anzugebenden (eingeschlossenen) Winkel [mm] \alpha [/mm] so, dass [mm] \alpha\le\hat{\alpha} [/mm] gilt.
2) Entsprechend auch möglich: [mm] \alpha\ge\hat{\alpha}.
[/mm]
3) Im [mm] \IR^n [/mm] mit n>2 mühsamer, aber im [mm] \IR^2 [/mm] leicht möglich: [mm] \sphericalangle(\vec{x},\vec{y}) [/mm] sei der kleinste Winkel, den man von [mm] \vec{x} [/mm] nach [mm] \vec{y} [/mm] im mathematisch positiven Sinn durchlaufen kann.
4) Umgekehrt wie bei 3): der kleinste Winkel, den man von [mm] \vec{y} [/mm] nach [mm] \vec{x}...
[/mm]
> > > (Geometrisch läßt sich
> > > das sicher auch interpretieren - man verschiebt einen
> > > Richtungsvektor dann
> > > sicher entlang einer Ebene senkrecht zur Geraden,
> > > die zu dem
> > > Richtungsvektor gehört, bis man zur anderen Geraden
> > > gelangt, bspw. ...)
> > > Aber sagt man dann auch, dass die Geraden "einen Winkel
> > > einschließen"?
> >
> > Soweit ich sehe, kann man das eben nicht sagen.
>
> Ja, das ist auch mein Gefühl: Dieses "einschließen"
> bedeutet für mich, dass
> die Geraden sich auch irgendwo treffen müssen.
Genau. Ein Winkel braucht einen Scheitelpunkt.
> Wir sind
> jetzt also bei
> mathematisch/geometrischen Feinheiten, Begrifflichkeiten
> und beim
> Sprachgebrauch angekommen. Aber ich glaube, im Wesentlichen
> sehe ich das
> genau so wie Du, reverend. Vielleicht ist das alles aber
> auch wirklich nur
> Definitionssache ^^
Das scheint mir auch so.
Und hier jetzt der angekündigte Vorschlag:
Wenn wir in einer Ebene zwei Strecken liegen haben, die einander weder berühren noch schneiden, so schließen sie m.E. keinen Winkel ein.
Aber sie stehen in einem Winkel zueinander (wieder mit der Ambiguität [mm] $\alpha, \hat{\alpha}$). [/mm]
Ich denke, das ist der sprachlich etablierte Unterschied, den man recht schmerzfrei auch auf den [mm] \IR^3 [/mm] ausweiten könnte.
So, und jetzt gehe ich wirklich mal wieder an die Arbeit, für die ich eigentlich bezahlt werde...
Grüße
reverend
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