2 Rechtecke ineinander < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 01.06.2006 | | Autor: | falang |
| Aufgabe | | Es sind zwei Rechtecke gegeben. Vom "großen Recheck" sind Länge und Breite bekannt, vom "kleinen Rechteck" ist und die Breite bekannt. Das kleine Rechteck liegt innerhalb des großen Rechtecks und berührt mit jeder Ecke eine Seite des großen Dreiecks. Gesucht ist die Lage des kleinen Rechtecks im großen, etwa durch einen Berührungspunkt der zwei Rechtecke oder durch einen Winkel von den Seiten des großem zu den Seiten des kleinen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dieses Problem ist aufgetaucht, als ich eine Stange vorgegebener Breite als Diagonalstrebe in einen vorgegebenen rechteckigen Freiraum legen wollte, sodass eben diese Stange alle 4 Seiten des Freiraums berührt.
ich konnte für dieses Problem weder eine zeichnerische Lösung, noch eine rechnerische Löung finden.
Wenn es hilft:
Man kann in einer Ecke des großen Rechtecks einen Viertelkreis legen, mit der Ecke des großen Rechtecks als Mittelpunkt und der halben Breite des kleinen Rechtecks als Radius. Auf diesem Viertelkreis muss dann die Mitte der schmalen Seite (die Seite mit der angegebenen Breite) des kleinen Rechtecks liegen.
Das bringt nun das Problem, ein rechtwinkeliges Dreieck zu konstruieren, das mit der rechtwinkeligen Ecke eben auf diesem Viertelkreis liegt, mit einer Ecke in der gemeinsamen Mitte der beiden Rechtecke und mit einer Ecke auf einer Seite des großen Recheckes. Wobei die eine Seite von der Ecke auf dem Viertelkreis zu der Ecke an der Seite des Rechecks bekannt ist (muss die halbe Breite des kleien Rechtecks sein).
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Hallo,
falls ich die Problemstellung richtig verstehe, dann stimmt die folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sei c bekannt.
Wir suchen nun zum Einen ein geeignetes d und zum anderen eine Angabe zur Lage des inneren Rechtecks, z.B. [mm] \alpha.
[/mm]
Wir stellen fest:
a = [mm] c*\cos\alpha [/mm] + [mm] d*\sin\alpha [/mm] und
b = [mm] c*\sin\alpha [/mm] + [mm] d*\cos\alpha
[/mm]
Wir multiplizieren die Gleichungen mit [mm] \cos\alpha [/mm] bzw. [mm] \sin\alpha:
[/mm]
[mm] a*\cos\alpha [/mm] = [mm] c*\cos^2\alpha [/mm] + [mm] d*\sin\alpha\cos\alpha [/mm] und
[mm] b*\sin\alpha [/mm] = [mm] c*\sin^2\alpha [/mm] + [mm] d*\sin\alpha\cos\alpha
[/mm]
Durch Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung eliminieren wir d:
[mm] a\cos\alpha [/mm] - [mm] b\sin\alpha [/mm] = [mm] c\cos^2\alpha [/mm] - [mm] c\sin^2\alpha
[/mm]
oder:
[mm] a\cos\alpha [/mm] - [mm] b\sin\alpha [/mm] = [mm] c\cos 2\alpha
[/mm]
So! Diese Gleichung kann ich nur numerisch lösen. Haben wir eine Lösung für [mm] \alpha [/mm] gefunden, können wir aus einer unserer Ursprungsgleichungen auch das d berechnen.
Gruß
Martin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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