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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | Weisen Sie nach ob es sich um Unterräume handelt!
a) [mm] V= \IR^3, U=\{(x,y,z)^T\in\IR^3: x^2+y^2+z^2\le 49\}[/mm]
b) [mm] V=\IR^2, U=\{\vec x \in\IR^2: \vec x = (1,1)^T+t(1,1)^T, t\le-1\}[/mm] |
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
a) [mm] \vec 0 \in U[/mm] ? [mm]0^2+0^2+0^2\le 49[/mm] ja das stimmt!
(U1) [mm]\vec v \in U, \vec w \in U; \vec v + \vec w = (v_1^2+w_1^2,v_2^2+w_2^2,v_3^2+w_3^2)^T=(v_1^2,v_2^2,v_3^2)^T+(v_1^2,v_2^2,v_3^2)^T[/mm] Da [mm] \vec v \le 49[/mm] und [mm] \vec w \le 49 [/mm] könnte die Summe beispielsweise aus 20+21 bestehen und somit unter 49 liegen, also ist Bedingung 1 erfüllt.
(U2) [mm] \alpha \in \IR, \vec v \in U, \alpha*v_1^2+\alpha*v_2^2+\alpha*v_3^2=> \alpha*(v_1^2+v_2^2+v_3^2)\le 49[/mm] Auch korrekt.
b) (0) [mm]\vec 0 [/mm] würde drin liegen bei t=-1
(U1) [mm]\vec v \in U, \vec w \in U --> \vec v + \vec w[/mm]
[mm](2,2)^T+(t_1+t_2)*(1,1)^T[/mm] Damit ist die Bedingung nicht erfüllt, weil [mm]\vec v + \vec w [/mm] nicht in U liegen.
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> Weisen Sie nach ob es sich um Unterräume handelt!
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> a) [mm]V= \IR^3, U=\{(x,y,z)^T\in\IR^3: x^2+y^2+z^2\le 49\}[/mm]
> b)
> [mm]V=\IR^2, U=\{\vec x \in\IR^2: \vec x = (1,1)^T+t(1,1)^T, t\le-1\}[/mm]
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> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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> a) [mm]\vec 0 \in U[/mm] ? [mm]0^2+0^2+0^2\le 49[/mm] ja das stimmt!
hallo,
ja.
> (U1) [mm]\vec v \in U, \vec w \in U; \vec v + \vec w = (v_1^2+w_1^2,v_2^2+w_2^2,v_3^2+w_3^2)^T=(v_1^2,v_2^2,v_3^2)^T+(v_1^2,v_2^2,v_3^2)^T[/mm]
> Da [mm]\vec v \le 49[/mm]
Was soll das bedeuten? Wie kann ein Vektor kleiner als eine Zahl sein?
Meinst Du vielleicht das Quadrat des Betrages?
> und [mm]\vec w \le 49[/mm] könnte die Summe
> beispielsweise aus 20+21 bestehen und somit unter 49
> liegen, also ist Bedingung 1 erfüllt.
Es geht aber darum, ob für alle x,y [mm] \in [/mm] U der Betrag von x+y kleiner als 49 ist. Was ist z.B. mit der Summe von [mm] \vektor{0\\0\\7} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\0}?
[/mm]
> (U2) [mm]\alpha \in \IR, \vec v \in U, \alpha*v_1^2+\alpha*v_2^2+\alpha*v_3^2=> \alpha*(v_1^2+v_2^2+v_3^2)\le 49[/mm]
Und wenn ich [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] mit 4711 multiplizieren?
> Auch korrekt.
>
> b) (0) [mm]\vec 0[/mm] würde drin liegen bei t=-1
> (U1) [mm]\vec v \in U, \vec w \in U --> \vec v + \vec w[/mm]
>
> [mm](2,2)^T+(t_1+t_2)*(1,1)^T[/mm] Damit ist die Bedingung nicht
> erfüllt, weil [mm]\vec v + \vec w[/mm] nicht in U liegen.
So sehe ich das nicht. Mach für konkrete [mm] t_1, t_2 [/mm] vor, daß die Summe nicht in V liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 So 31.01.2010 | | Autor: | Reen1205 |
> > Da [mm]\vec v \le 49[/mm]
> Was soll das bedeuten? Wie kann ein
> Vektor kleiner als eine Zahl sein?
> Meinst Du vielleicht den Betrag?
Damit meinte ich die Bedingung des Unterraums, dass [mm] x^2+y^2+z^2[/mm] [mm]\le49[/mm] ist
Aber da hat sich dann auch meine Lösung als falsch herausgestellt. Wenn ich also beispielsweise den größtmöglichen Betrag genommen hätte, also 49 dann würde die ganze sache nicht mehr unter 49 liegen und somit die bedingung nicht erfüllen.
Kleine Nebenfrage: Ist denn der Betrag nicht definiert als [mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> So sehe ich das nicht. Mach für konkrete [mm]t_1, t_2[/mm] vor,
> daß die Summe nicht in V liegt.
Könnte ich nicht auch theoretisch den Ortsvektor [mm]\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}[/mm] weglassen , da ich weiß, dass diese Gerade durch den Nullpunkt geht? Und habe demnach für die Summe aus[mm]\vec v[/mm] und [mm]\vec w[/mm] folgendes als Gleichung [mm] (t_1+t_2)*\begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
Und da ja die Bedingung ist, das [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] kleiner gleich -1 sein soll, wäre es damit bewiesen. Also wenn ich [mm] t_1=-1[/mm] setze und [mm]t_2=-4[/mm] würde ich ja demnach immernoch unter -1 mit [mm]-5*\begin {pmatrix} 1\\1 \end {pmatrix} [/mm] liegen?!
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> Damit meinte ich die Bedingung des Unterraums, dass
> [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] [mm]\le49[/mm] ist
> Aber da hat sich dann auch meine Lösung als falsch
> herausgestellt. Wenn ich also beispielsweise den
> größtmöglichen Betrag genommen hätte, also 49 dann
> würde die ganze sache nicht mehr unter 49 liegen und somit
> die bedingung nicht erfüllen.
> Kleine Nebenfrage: Ist denn der Betrag nicht definiert als
> [mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
Hallo,
ja, das stand in dem vorhergehenden Beitrag falsch. Wir reden hier über das Quadrat des Betrages,
und Du hast richtig erkannt, daß die Summe nicht unbedingt in U liegt. Gib für die Abgabe zwei konkrete vektoren an, für die das nicht klappt.
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> > So sehe ich das nicht. Mach für konkrete [mm]t_1, t_2[/mm] vor,
> > daß die Summe nicht in V liegt.
>
> Könnte ich nicht auch theoretisch den Ortsvektor
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}[/mm] weglassen , da ich
> weiß, dass diese Gerade durch den Nullpunkt geht?
es ist [mm] \vektor{1\\1}+ t\vektor{1\\1}=(1+t)\vektor{1\\1}, [/mm] und da [mm] t\le-1, [/mm] ist dies gleich
[mm] s\vektor{1\\1} [/mm] mit [mm] s\le [/mm] 0, also eine Halbgerade, die im Ursprung beginnt.
>Und habe
> demnach für die Summe aus[mm]\vec v[/mm] und [mm]\vec w[/mm] folgendes als
> Gleichung [mm](t_1+t_2)*\begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> Und da ja die Bedingung ist, das [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] kleiner gleich
> -1 sein soll, wäre es damit bewiesen.
Nein, wenn Du umschreibst, dann muß [mm] t_i\le [/mm] 0 sein, ich hab's oben vorgemacht.
Aber Tatsache ist: wenn [mm] t_1,t_\le [/mm] 0, dann ist auch [mm] t_1+t_2\le [/mm] 0 , also liegt die Summe in der Menge.
> Also wenn ich
> [mm]t_1=-1[/mm] setze und [mm]t_2=-4[/mm] würde ich ja demnach immernoch
> unter -1 mit [mm]-5*\begin {pmatrix} 1\\1 \end {pmatrix}[/mm]
> liegen?!
Aber wie schaut's mit der Multiplikation aus?
Gruß v. Angela
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