2 x 2 Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:21 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Leute ich hab hier ne Aufgabe wo ich leider noch nicht einmal einen Ansatz finde und relativ viele Fragen offen sind bei mir.
Sei A eine (nxn) Matrix der Ordnung 2 , [mm] A^{2} [/mm] =E Man zeige: für [mm] \chi [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] ) = [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i} \lambda^{i} [/mm] gilt [mm] c_{i} [/mm] = [mm] c_{n-1} [/mm] , 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n oder [mm] c_{i} [/mm] = - [mm] c_{n-1}
[/mm]
Meine Probleme sind nun:
Wie sieht eine Matrix aus mit der Bedingung [mm] A^{2} [/mm] =E
Was sind die [mm] c_{i}
[/mm]
dann weiß ich nur, dass ich irgendwie zeigen muss, dass die [mm] c_{i} [/mm] symetrisch sind wie es aussicht glaube ich.
Vielen Dank
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> Sei A eine (nxn) Matrix der Ordnung 2 , [mm]A^{2}[/mm] =E Man
> zeige: für [mm]\chi[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] ) = [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i} \lambda^{i}[/mm]
> gilt [mm]c_{i}[/mm] = [mm]c_{n-1}[/mm] , 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n oder [mm]c_{i}[/mm] = -
> [mm]c_{n-1}[/mm]
>
Hallo,
Meinst du, daß A eine 2x2-Matrix ist, wie's in der Überschrift steht?
Oder nXn???
Das [mm] \chi [/mm] soll doch gewiß das Charakteristische Polynom von A sein.
Dann sind die [mm] c_i [/mm] die Koeffizienten desselbigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi
Also ja es soll eine 2x2 Matrix sein.
Und das /chi ist das Polynom.
Allerdings sitz ich jetzt schon länger an der Aufgabe und habe immer noch keinen Plan wie es gehen soll.
Vielen Dank für eure Hilfe
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> Hi
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> Also ja es soll eine 2x2 Matrix sein.
> Und das /chi ist das Polynom.
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Also das CHARAKTERISTISCHE Polynom, ja?
Hat es einen tieferen Grund, daß die Summation mit i=1 beginnt? Oder ein Versehen?
Wie bist Du die Aufgabe denn angegangen?
Die Matrix A ist doch als 2x2 Matrix sehr übersichtlich.
Aud [mm] A^2=E [/mm] kriegt Du ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen, aus welchen Du Dir die Informationen darüber, wie A beschaffen ist, holen kannst.
Und wenn Du das hast, das neue Outfit von A, dann rechne doch das charakteristische Polynom einfach aus!
Wie geht das?
[mm] \chi_A( \lambda)=det( [/mm] A- [mm] \lambda [/mm] E)
Da hast Du ein Polynom, das ist auch sehr übersichtlich, weil es doch höchstens den Grad 2 hat! Das sortierst Du fein nach Potenzen von [mm] \lambda [/mm] und guckst Dir dann die Koeffizienten an. [mm] c_1 [/mm] z.B. ist der Koeffizient vor [mm] \lambda^1.
[/mm]
Oder - eine andere Möglichkeit, die mir einfällt - mit diesem Satz (Hamilton-Cayley???), der sagt, daß jede Matrix ihr Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist. Falls ihr das schon hattet: Du weißt doch, daß [mm] \chi [/mm] höchstens zweiten Grades ist. Nimm Dir so ein Polynom zweiten Grades her, A eingesetzt ergibt die Nullmatrix. Auch hieraus kannst Du die Informationen über [mm] c_i [/mm] ziehen.
> Allerdings sitz ich jetzt schon länger an der Aufgabe und
> habe immer noch keinen Plan wie es gehen soll.
2 Pläne hast Du jetzt.
Viel Erfolg und
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
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