2n Teams per Los in 2 Gruppen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Um die Dauer einer Meisterschaft abzukürzen, werden die 2n teilnehmenden Teams durch Los in zwei
gleich große Untergruppen aufgeteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind dann die zwei stärksten Teams
in derselben Gruppe? Ermitteln Sie einen möglichst einfachen Ausdruck. |
Also ich stell mir das ganze mal so vor, ich hab eine Urne wo 2n-2 rote und 2 schwarze Kugeln drinnen sind.
Jetzt ziehe ich n mal und will wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, die 2 schwarzen kugeln dabei zu haben.
Leider hab ich bis jetzt noch keine Formel dafür gefunden.
hoff mir kann da wer auf die Sprünge helfen!
PS: rein logisch müssts doch eigentlich 50% sein , da ich von 2n genau n hinausnehem und das ganze somit genau in die hälfte Teile.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Fr 19.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo!
Die Intuition scheint hier zu versagen.
Es gibt insgesamt ${2n-1 [mm] \choose [/mm] n-1}$ Möglichkeiten, die Gruppe aufzuteilen.
Eine beliebige Mannschaft kann fest gewählt werden. Die Anzahl aller Aufteilungsmöglichkeiten entspricht dann der Anzahl aller Möglichkeiten, aus den restlichen 2n-1 Mannschaften noch n-1 Mannschaften zur fest gewählten dazu zu wählen.
Davon sind ${2n-2 [mm] \choose [/mm] n-2}$ Möglichkeiten günstig. Die Überlegung ist wie oben. Nur daß wir jetzt die beiden stärksten Mannschaften zuerst auswählen und dann noch n-2 weitere dazu wählen.
Division ergibt $p = [mm] \frac{n-1}{2n-1}$ [/mm] für die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden in derselben Gruppe sind.
Diese Wahrscheinlichkeit ist also kleiner als 1/2.
Man kann sich das plausibel machen, indem man sich anschaut, was geschieht, wenn die stärkste Mannschaft als erstes in eine Gruppe gesetzt wird. Es bleiben noch n-1 Plätze in derselben Gruppe zu besetzen aber n Plätze in der anderen Gruppe. Wenn nun die zweite Mannschaft zufällig auf einen der verbleibenden 2n-1 Plätze gesetzt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, auf einen der n-1 Plätze zusammen mit der stärksten zu kommen nur noch (n-1) / (2n-1).
Gruß
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Fr 19.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin devilofdeath,
ich argumentiere fuer das Gegenereignis, naemlich dass beide in
unterschiedlichen Gruppen auftreten, nennen wir sie Gruppe A und Gruppe
B. Es gibt [mm] {2n\choose n} [/mm] Moeglichkeiten, Gruppe A zu bestuecken. Die
besten Mannschaften 1 und 2 werden getrennt, wenn Mannschaft 1 Gruppe A und Mannschaft 2 Gruppe B zugewiesen wird (Fall 1) oder umgekehrt (Fall 2). Im ersten Fall gibt es [mm] {2n-2\choose n-1} [/mm] Moeglichkeiten, Gruppe A mit den restlichen Mannschaften zu bestuecken. Fuer den zweiten Fall gibt es genauso viele Moeglichkeiten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist folglich
[mm] $1-\frac{2{2n-2\choose n-1}}{{2n\choose n}}=\frac{n-1}{2n-1}$.
[/mm]
lg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Rudy |
Hallo!!
Ich kann leider den letzten Rechenschritt, also die Vereinfachung des Ausdrucks 1- Binominal/Binominal = Ergebnis nicht nachvollziehen.
Wäre für ein paar Zwischenschritte und Tipps dankbar!!
Thx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 22.10.2007 | | Autor: | luis52 |
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> Ich kann leider den letzten Rechenschritt, also die
> Vereinfachung des Ausdrucks 1- Binominal/Binominal =
> Ergebnis nicht nachvollziehen.
>
> Wäre für ein paar Zwischenschritte und Tipps dankbar!!
>
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Viele Zwischenschritte gibt's da nicht. Ich habe fuer das Gegenereignis [mm] $\overline{A}$ [/mm] die Wahrscheinlichkeit $ [mm] \frac{2{2n-2\choose n-1}}{{2n\choose n}} [/mm] $ berechnet. Nach einer alten Bauernregel ist [mm] $P(A)=1-P(\overline{A})$ [/mm] ...
lg Luis
Nachtrag: Ah, jetzt weiss ich, was du meinst:
[mm] \begin{matrix}
1-\frac{2{2n-2\choose n-1}}{{2n\choose n}}
&=&1-\frac{2(2n-2)!n!n!}{(n-1)!(n-1)!(2n)!}\\
&=&1-\frac{2n^2}{(2n)(2n-1)} \\
&=&1-\frac{n}{2n-1} \\
&=&\frac{2n-1-n}{2n-1} \\
&=&\frac{n-1}{2n-1}
\end{matrix} [/mm]
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