2x/4x^(2)-1 integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Fr 09.01.2015 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{2x}{4x^2-1}dx} [/mm] |
Hallo,
ich möchte oben genanntes Beispiel mit der Substitutionsmethode integrieren.
mein Ansatz war:
[mm] u=4x^2-1
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=8x [/mm] = dx
daraus würde folgen
[mm] \integral{\bruch{2x}{u}*\bruch{du}{8x}dx} [/mm] was sich zu [mm] \bruch{1}{4}\integral \bruch{1}{u} [/mm] dx kürzen ließe.
Wenn ich nun integriere komme ich auf [mm] \bruch{1}{4}* [/mm] ln(u) was rücksubstituiert folgendes ergäbe:
[mm] \bruch{1}{4}*ln(4x^2-1)+c
[/mm]
Die Musterlösung sagt jedoch, dass folgendes herauskommen soll:
[mm] \bruch{1}{4}*ln(x^2-0,25)+c
[/mm]
Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen, wo ich was falsch gemacht habe?
Wie immer herzlichsten Dank
Jengo
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Hallo jengo,
Du musst besser aufpassen, was Du aufschreibst, sonst bist Du in Klausuren schnell jeden Punkt los, obwohl Du das richtige meinst
> [mm]\integral{\bruch{2x}{4x^2-1}dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich möchte oben genanntes Beispiel mit der
> Substitutionsmethode integrieren.
Genau, das ist hier auch das einfachste.
> mein Ansatz war:
>
> [mm]u=4x^2-1[/mm]
Guter Ansatz.
> [mm]\bruch{du}{dx}=8x[/mm] = dx
Warum steht da am Ende der Zeile "=dx"? Das gehört da nicht hin.
> daraus würde folgen
>
> [mm]\integral{\bruch{2x}{u}*\bruch{du}{8x}dx}[/mm]
Nein. Da dürfen nicht du und dx beide vorkommen!
> was sich zu
> [mm]\bruch{1}{4}\integral \bruch{1}{u}[/mm] dx kürzen ließe.
Das schonmal gar nicht. Es ergibt sich [mm] \br{1}{4}\int{\br{1}{u} \mathrm{du}}
[/mm]
> Wenn ich nun integriere komme ich auf [mm]\bruch{1}{4}*[/mm] ln(u)
Ja, wenn Du vorher richtig notiert hättest, würde sich genau das ergeben, plus Integrationskonstante.
> was rücksubstituiert folgendes ergäbe:
>
> [mm]\bruch{1}{4}*ln(4x^2-1)+c[/mm]
Ja, stimmt.
> Die Musterlösung sagt jedoch, dass folgendes herauskommen
> soll:
>
> [mm]\bruch{1}{4}*ln(x^2-0,25)+c[/mm]
Stimmt auch.
> Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen, wo ich was
> falsch gemacht habe?
Hast Du nicht (außer... siehe oben). Finde mal heraus, warum die Lösungen gleich sind. Nur das "c" ist unterschiedlich.
> Wie immer herzlichsten Dank
>
> Jengo
Schöne Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Fr 09.01.2015 | | Autor: | jengo32 |
Hallo reverend,
ich bin erstaunt, wie schnell ich falsch abtippe. Tatsächlich steht es auf meinem Zettel so wie du es hier verbessert hast. Das freut mich ja das meine Lösung dann im Prinzip richtig ist.
Warum die beiden Lösungen richtig sind erschließt sich mir noch nicht. Ansonsten müsste ich mir da morgen noch mal Gedanken drüber machen :>
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Hallo nochmal,
ich führe mal eine Unterscheidung der beiden Integrationskonstanten ein.
Deine Lösung: [mm] F(x)=\br{1}{4}\ln{(4x^2-1)}+C_1
[/mm]
Musterlösung: [mm] F(x)=\br{1}{4}\ln{(x^2-0,25)}+C_2
[/mm]
Es gilt nun [mm] C_2=C_1+\br{1}{4}\ln{4}=C_1+\br{1}{2}\ln{2}
[/mm]
Kannst Du das besser nachvollziehen?
Tipp: Rechenregeln des Logarithmus...
Grüße
rev
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