3-dimensionaler affiner Raum Z < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 So 28.05.2006 | | Autor: | tempo |
| Aufgabe | Sei A ein 3-dimensionaler affiner Raum über [mm] \IZ_{3} [/mm] .
Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, Geraden und Ebenen in A. |
Hallo, also wenn sich die aufgabe auf den 3-dim. raum bezogen würde den wir "kennen" würde ich sagen es gäbe unendlich viele punkte, geraden und nur eine ebene. dieses [mm] \IZ_{3} [/mm] "wirft mich aber leicht aus der bahn". was ist damit gemeint? ist damit der " [mm] \IR^{3} [/mm] " in [mm] \IZ [/mm] gemeint? falls ja dann würde ich das selbe sagen wie oben... es gibt unedlich viele punkte, geraden ... oder ist damit der 3-dimensionale raum in [mm] \IZ [/mm] gemeint der in jede richtung die werte von z.B. -3 bis 3 auf den achsen hat? dann gebe es für mein bsp. 7 punkte auf jeder achse, also [mm] 7^{3} [/mm] punkte insgesamt, ... oder ist damit noch etwas ganz anderes gemeint?
mit dank im voraus habe ich diese frage in keinem anderen forum gestellt ;)
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Du hast mit deiner letzten Idee wohl fast recht.
Meines Wissens nach geht es nicht um -3...+3, sondern sogar nur um 0...3.
Somit gibt es nur [mm] $4^3=64$ [/mm] Punkte.
Nun kannst du dir überlegen, wieviele verschiedene Graden du in der (2D) xy-Ebene einzeichnen kannst, für den y-Achsenabschnitt gibt es ja 4 Möglichkeiten. Dann guckst du dir die Steigungen an, welche durch alle möglichen Verbindungen von je zwei Punkten gegeben ist. Dabei mußt du natürlich darauf achten, daß manche Steigungen identisch sind, z.B. (0|0)-> (1|1) und (0|0)-> (2|2).
Und dann gehst du eben zu 3D über.
Ich hoffe, daß das so richtig ist. Wie gesagt, es stimmt schon, daß du nur ein Intervall ganzer Zahlen hast, aber ich kann dir nicht definitiv sagen, ob das jetzt bei -3 oder bei 0 beginnt.
Daher setze ich mal nur eine teilweise Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Mo 29.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich gehe da sogar noch weiter als Sebastian: m.E. bezeichnet [mm] \IZ_3 [/mm] die ganzen Zahlen modulo 3, d.h. den Körper mit 3 Elementen 0,1 und 2.
In einem 3-dim. affinen Raum gibt es genau so viele Punkte wie in einem 3-dim. Vektorraum, also [mm] 3^3=27.
[/mm]
Um die Geraden abzuzählen geht der Tipp mit der Steigung möglicherweise etwas daneben - wir rechnen ja immer modulo 3.
Ich würde mir erst mal alle Geraden durch einen festen Punkt anschauen. Diese Anzahl entspricht ja gerade der Zahl 1-dim. Unterräume in [mm] \IZ_3^3 [/mm] (also dem 3-dim. Vektorraum über [mm] \IZ_3). [/mm] Wie viele wären das?
Wiederholt man das für jeden der 27 Punkte werden die Geraden ja alle mehrfach gezählt - wie oft?
...und damit sollte man dann die Anzahl der Geraden haben. Die Ebenen gehen denke ich ähnlich.
Gruß
piet
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Du hast recht! Das geht wirklich nur über {0;1;2}³
Die Sache mit den Steigungen war übrigens auch nicht als Lösungsvorschlag gedacht, eher als Einstieg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Mi 14.06.2006 | | Autor: | tempo |
hi, der vollständigkeitshalber hier die ergebisse:
es war der raum gemeint mit nur 3 elementen (in jede richtung) damit ergeben sich:
[mm] 3^{3} [/mm] punkte = 27
[mm] \bruch{\vektor{27 \\ 2}}{\vektor{3 \\ 2}} [/mm] geraden = 117
[mm] \bruch{\vektor{27 \\ 2}{9}} [/mm] ebenen = 39
hätte ich vielleicht im forum kombinatorik stellen sollen?!
-mfg-
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