3-mal-Mindestens Aufgabe < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo erstmal!
Wir haben von unserem Mathe Lehrer folgende Aufgabe gekriegt:
Gerda weiß, dass es dort zum Kaffee mit einer wahrscheinlihckeit von 20 % ihren Lieblingskuchen gibt. Wie oft muss Gerda mindestens ins Cafe gehen, damit sie mit einer wahrscheinlichkeit von mehr als 70 % mindestens zweimal ihren lieblingskuchen bestellen kann?
Gewohnt bin ich eigentlich nur aufgaben mit mindestens einmal - und nicht zweimal. Ich gehe wie bei www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Stochastik/31022%20Stochastik%20Einf%202%20SOD.pdf
beschrieben vor...
X sei die Anzahl der bekommenen Lieblingskuchen bei n Ziehungen...
P( X >= 2)= 1 - P(höchstens 1) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - [mm] 0,8^n [/mm] - n*0,2 * 0,8^(n-1)
Ich hoffe der Ansatz ist richtig...bei www.mathe-aufgaben.de steht aber auch noch, dass wir aufgaben mit "mindestens zwei" eigentlich nicht lösen können, da diese zu kompliziert sind.
P(X>=2) >= 0,3 ergibt sich außerdem aus der Aufgabenstellung...aber wenn ich dies gleichsetze, 1 - [mm] 0,8^n [/mm] - n*0,2 * 0,8^(n-1) >= 0,3 und dann logarithmiere (umformen etc.) kommt am ende bei mir : [mm] 0,2n^2 [/mm] - 0,8n >= ln0,3 / ln 0,8
Vielleicht könnt ihr mir ja dabei helfen ...
Danke
MfG Nacktmulle
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 22.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Nacktmulle,
dieses Aufgabenstellung ist eigentlich eine typische Anwendung der Normalverteilung!
Drum meine Frage: Kennst Du die schon?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 So 22.05.2005 | | Autor: | Nacktmulle |
Nein. Die Normalverteilung haben wir noch nicht. Das letzte war Tschebyscheff und [mm] \delta [/mm] - Regeln
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mo 23.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Danke für den Hinweis. Ich hatte also doch einen Fehler drin. Hier ist die Überarbeitete Antwort:
Ich bin der Meinung man kann diese Aufgabe auch mit einer klassischen Bernoulli-kette lösen.
Die Formal lautet also:
1 - [mm] 0,8^{n} [/mm] - [mm] n*0,2*0,8^{n-1}>=[b]0,7[/b]
[/mm]
Das ist recht kompliziert umzuformen.
ABER:
Kannst du es nicht aus dem Tafelwerk ablesen (oder mit dessen Hilfe einen Wert erraten)?
Wahrscheinlichkeit = 0,2
1- [mm] \summe_{i=0}^{1}B(n;p;i) [/mm] >= 0,7
[mm] \summe_{i=0}^{1}B(n;p;i)<= [/mm] 0,3
Da bei mir für n= 10 und k=1 die Summe 0,37581
und für n=15 und k =1 0,16713
Ich tippe also auf n = 11 oder 12.
Ist diesmal alles richtig? *fleh*
Wenn schon wieder ein Fehler drin ist geb ich Stochastik auf. :D
Ich hoffe das hilft dir weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Fabian,
wahrscheinlich liegt's doch an der späten Uhrzeit, aber:
P(X=1) = [mm] \vektor{n \\ 1}*0,2^{1}*0,8^{n-1}.
[/mm]
Also: Nacktmulle hat mit ihrem Ansatz recht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Mo 23.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Das ist natürlich peinlich.
Ich hab die Antwort jetzt überarbeitet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Fabian,
Dein Flehen wurde erhört!
Diesmal stimmt's!
Ach ja: Und die richtige Lösung ist n=12.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Mo 23.05.2005 | | Autor: | FabianD |
Danke Zwerglein ;)
Warum ist die Frage eigentlich erst teilweise beantwortet?
Überlese ich da jedesmal ne Frage?
Mfg
Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Fabian,
soweit ich sehe, ist ChryZ noch an der Überarbeitung seiner Antwort.
Ansonsten ist die Frage zu aller Zufriedenheit erledigt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mo 23.05.2005 | | Autor: | ChryZ |
Hallo zusammen!
Nachdem ich jetzt mich vollständig mit der Aufgabe befasst habe komme ich auf folgende Lösung:
Das Problem ist ja, dass man die Anzahl der Versuche zählt bis zum 2. Mal das interessierende Ereignis stattgefunden hat. Die zugehörige Verteilung der Anzahl der Versuche heißt Negative-Binomialverteilung.
X = Anzahl der Versuche bis n = 2 Lieblingskuchen.
X [mm] \sim [/mm] negB(n;0,2)
allgemein:
P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \summe_{k=2}^{x} \vektor{k - 1 \\ n - 1} p^{k} (1-p)^{k - n}
[/mm]
[mm] P(X\le [/mm] x) = [mm] \summe_{k=2}^{x} \vektor{k - 1 \\ 1} 0,2^{2} (0,8)^{k - 2} [/mm] > 0,7
x*0,04 [mm] \summe_{k=2}^{x} [/mm] (k - 1) [mm] 0,8^{k - 2} [/mm] > 0,7
x [mm] \summe_{k=2}^{x} [/mm] (k - 1) [mm] 0,8^{k - 2} [/mm] > 0,7/0,04 = 17,5 |*0,8
x*0,8 [mm] \summe_{k=2}^{x} [/mm] (k - 1) [mm] 0,8^{k - 2} [/mm] > 14
[mm] \summe_{k=2}^{x} [/mm] (k - 1) [mm] 0,8^{k - 1} [/mm] > 14
Diese Summe ist dann für x = 12 größer 14.
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