3 Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Kulli |
hey,
ich hab da mal ne frage.
also die aufgabe ist:
welche besondere lage haben die ebenen
E1: 2y + z = 7
E2: 4x - z = 5
E3: 3e + y =2
soo aber ich weiß grad nicht wie ich anfangen soll. denn wenn ich die 3 ebenen in ein LGS packe, dann kommt da raus x=-4; y=14 und z=-21 diese eindeutige lösung bedeutet aber ja, es gäbe einen schnittpunkt, was nicht sein kann.
wie gehe ich an die aufgabe ran? oder muss ich immer 2 ebenen einzeln untersuchen. also erst E1 und E2 dann E1 und E3 und dann E2 und §e oder wie??
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Nun, erstmal solltest du dir die Ebenen einzeln anschauen.
In der ersten z.B sehe ich kein y. Das bedeutet, daß y beliebige Werte annehmen kann, oder auch, daß diese Ebene zur y-Achse parallel verläuft.
Ähnliches gilt auch für alle anderen Ebenen (Tippfehler in der letzten GL?)
Ansonsten, warum kann das nicht sein, daß sich alle drei Gleichungen in einem einzigen Punkt schneiden? Sofern das wirklich rauskommt, ist das korrekt.
Um die Schnittgraden herauszufinden, darfst du natürlich immer nur zwei Gleichungen betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Kulli |
hey danke schonmal für die antwort..
ja, war ein tippfehler:
E3: 3x + y = 2
aber ich würd auch gerne mal wissen wies allgemein geht.. hab grad zb ein beispiel rausgesucht:
E1: 2x + 3y = 1
E2: 5x - y +3z = 2
E3: 2y = -2
vll habt ihr auch ein anderes bsp. aber würd mal gerne wissen wie ich an diese aufgaben mit 3 ebenen rangehe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mo 09.10.2006 | | Autor: | ardik |
> E1: 2x + 3y = 1
> E2: 5x - y +3z = 2
> E3: 2y = -2
>
> vll habt ihr auch ein anderes bsp. aber würd mal gerne
> wissen wie ich an diese aufgaben mit 3 ebenen rangehe.
Dazu müsste erstmal klar sein, welche Art von Aufgaben gemeint ist... 
Bei Deiner ersten Aufgabe lag ja offenbar ein Missverständnis hinsichtlich der Aufgabenstellung vor: Gefragt war nach der besonderen Lage der Ebenen, nicht nach der besonderen Lage der Ebenen zueinander.
1. "Besondere Lage"
Da allen drei Ebenen ja jeweils ein Variable "fehlte", hatten sie auch jede für sich eine "besondere Lage", nämlich Parallelität zur entsprechenden Achse. Wenn gleich zwei Variablen fehlen (wie oben bei [mm] E_3), [/mm] so ist die Ebene zu diesen beiden Achsen, somit zur entsprechenden Koordinatenebene (oben: zur x-z-Ebene) parallel. Außerdem ergibt sich ein eindeutiger Wert für die verbliebene Variable (y=-1), dort schneidet die Ebene jene Achse.
Obige [mm] E_1 [/mm] ist wieder parallel zur z-Achse.
[mm] E_2 [/mm] hat in dem Sinne keine besondere Lage, sondern liegt irgendwie "schief" im Raum. Das kann man freilich auch noch veranschaulichen durch Achsenabschnitte und / oder Spurgeraden (Erläuterungen auf Wunsch...).
2. Lage zueinander
Das ist etwas komplexer.
Um den ggf. existierenden Schnittpunkt dreier Ebenen zu bestimmen, ist es schon angemessen, das entsprechende Gleichungssystem zu lösen.
Ansonsten würde ich mir erstmal die Normalenvektoren der Ebenen anschauen, um festzustellen, ob sie evtl. parallel (oder identisch) sind und dann weitersehen. Würde mich nicht wundern, wenn die Lage von Ebenen zueinander Euch erst noch bevorsteht...?
Schöne Grüße,
ardik
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