3 Gleichungen, 4 Unbekannte < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der folgenden Ebenen und berechnen Sie gegebenfalls Schnittgeraden.
E(1): x= (-1/-2/2) + k* (0/1/-3) + l* (1/0/7)
E(2): x= (-2/-4/1) + r* (1/0/1) + s* (1/3/1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bin wie folgt an die Aufgabe herangegangen.
habe durch die Determinante [ V(1), W(1), V(2) ] die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft...
als Ergebnis erhalte ich 6=0 , daraus folgere ich, dass die Ebenen eine Schnittgerade gemeinsam haben.
um diese Schnittgerade zu erhalten versuchte ich ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten.
ich dachte, dass ich vielleicht den Parameter r durch s darstelle, um dann die 2.te Ebene in eine Geradenfunktion umzuschreiben.
doch erhielt ich dafür keine lösung und weiß auch nicht, wie ich das problem anderweitig lösen könnte.
mit freundlichen Grüßen.
croco
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> Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der folgenden Ebenen
> und berechnen Sie gegebenfalls Schnittgeraden.
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> E(1): x= (-1/-2/2) + k* (0/1/-3) + l* (1/0/7)
>
> E(2): x= (-2/-4/1) + r* (1/0/1) + s* (1/3/1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Bin wie folgt an die Aufgabe herangegangen.
>
> habe durch die Determinante [ V(1), W(1), V(2) ] die
> Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft...
> als Ergebnis erhalte ich 6=0 , daraus folgere ich, dass die
> Ebenen eine Schnittgerade gemeinsam haben.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das mit der Determinante verstehe ich nicht, das fängt damit an, daß ich nicht weiß, was mit V(1), W(1), V(2) gemeint ist. (Vielleicht drei der vier Richtungsvektoren.)
Wie Du bei der Berechneung einer Determinante das Ergebnis 6=0 erhalten kannst, ist mir unklar.
Aber machen wir mal weiter. Ich nehme an, daß Du irgendetwas getan hast oben (oder tun wolltest), was Dir garantiert, daß die beiden Ebenen nicht parallel sind.
> um diese Schnittgerade zu erhalten versuchte ich ein
> Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten.
Genau. Durch Gleichsetzen erhält man das.
>
> ich dachte, dass ich vielleicht den Parameter r durch s
> darstelle, um dann die 2.te Ebene in eine Geradenfunktion
> umzuschreiben.
Ja. Du mußt daraufhinarbeiten, eine beziehung zwischen r und s oder zwischen k und l herzustellen. Daraus erhält man dann die Schnittgerade.
>
> doch erhielt ich dafür keine lösung
Stell doch hier mal vor, wie Du Dein Gleichungssystem löst. Dann können wir dem Problem auf die Spur kommen.
Gruß v. Angela
und weiß auch nicht,
> wie ich das problem anderweitig lösen könnte.
>
>
> mit freundlichen Grüßen.
>
>
> croco
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entschuldigt bitte für die nicht ganz verständliche und ausführliche Erläuterung:
die Determinante hatte ich mit 3 der 4 Richtungsvektoren berechnet, und habe dadurch das Ergebnis 6 =0 erhalten...
weil sie nicht linear abhängig sind, gibt es also einen schnittgerade.
1. l - r - s = -1
2. k - 3s = -2
3. 3k+7l - r - s = -3
nun habe ich dann ehrlich keine ahnung wie ich genau weiter vorgehen sollte.
was ich gemacht hatte, war, dass ich s auf die rechte seite gebracht hatte und versucht hatte die gleichungen nach r aufzulösen.
letzten Endes erhoffte ich mir ein Ergebnis zu erhalten, mit dem ich den parameter r durch s ersetzen könnte?!
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entschuldigt bitte für die nicht ganz verständliche und ausführliche Erläuterung:
die Determinante hatte ich mit 3 der 4 Richtungsvektoren berechnet, und habe dadurch das Ergebnis 6 =0 erhalten...
weil sie nicht linear abhängig sind, gibt es also einen schnittgerade.
1. l - r - s = -1
2. k - 3s = -2
3. 3k+7l - r - s = -3
nun habe ich dann ehrlich keine ahnung wie ich genau weiter vorgehen sollte.
was ich gemacht hatte, war, dass ich s auf die rechte seite gebracht hatte und versucht hatte die gleichungen nach r aufzulösen.
letzten Endes erhoffte ich mir ein Ergebnis zu erhalten, mit dem ich den parameter r durch s ersetzen könnte?!
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> entschuldigt bitte für die nicht ganz verständliche und
> ausführliche Erläuterung:
>
> die Determinante hatte ich mit 3 der 4 Richtungsvektoren
> berechnet, und habe dadurch das Ergebnis 6 =0 erhalten...
Hallo,
beim Erreichnen einer Determinante kann dieses Ergebnis nicht herauskommen.
Aber ich glaube ich weiß jetzt was Du meinst: Du hast die determinante der ersten drei Richtungsvektoren berechnet, herausbekommen, daß sie =6 ist, und daraus, daß sie nicht =0 ist, geschlossen, daß die drei Richtungsvektoren linear unabhängig sind, und es folglich eine Schnittgerade der beiden Ebene geben muß.
Dieser Gedankengang ist richtig.
>
> weil sie nicht linear abhängig sind, gibt es also einen
> schnittgerade.
>
> 1. l - r - s = -1
> 2. k - 3s = -2
> 3. [mm] \red{-}3k+7l [/mm] - r - s = [mm] \red{-1}
[/mm]
bei der roten -1 hattest Du zuvor falsch gerechnet, und das eine Minuszeichen vergessen.
Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, wie man weitermachen kann.
Recht bequem wäre hier dies:
Löse die 1. Gleichung nach l auf, die zweite nach k.
Setze die gewonnenen Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.
Damit hast Du erreicht, daß Du in der Gleichung nur noch r und s hast. Du kannst eine der Variablen freistellen und dann in die 2. Ebenengleichung einsetzen.
Gruß v. Angela
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super... vielen Dank. Ich denk ich hab den Weg verstanden...
und danke für die Aufmerksamkeit bezüglich meiner rechnerischen Grobheit!
ein angenehmes Wochenende noch!
Mit besten Grüßen
croco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 29.03.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
du hast einen recht umständlichen Weg gewählt. Stelle doch einfach mit der Kreuzprodukt der Spannvektoren die Normalenvektoren beder Ebenen auf. Damit weißt du schon mal, ob die Ebenen parallel/identisch sind oder nicht.
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:27 So 29.03.2009 | | Autor: | Eric_sPaRRo |
Vielen Dank für ihre Antwort.
ich rechne vorzugsweise mit Determinanten, zumindest. in dem Bereich, lineare Abhängigkeit von Richutngsvektoren zu erhalten.
nun weiß ich nur nicht, wie ich die (schnitt-)Geradengleichung ermittle, die nach dem Ergebnis meiner Voruntersuchung vorhanden sein soll!?
Mit besten Grüßen
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