3 Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) [mm] \limes_{x\rightarrow0}(\bruch{sinx}{x})^{\bruch{3}{x^{2}}}
[/mm]
[mm] b)\limes_{x\rightarrow3}\bruch{sin(\bruch{x\pi}{2})}{(x-3)^{2}}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{ln(sin5x)}{ln(sin3x)}
[/mm]
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ich steh bei allen 3 auf'm schlauch. alle meine ansätze haben sich irgendwie im sand verlaufen.
könnt ihr mir die techniken verraten mit denen ich an die einzelnen aufgaben rangehen sollte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 15.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
den ersten Grenzwert musst du mit exp um schreiben und die Stetigkeit ausnutzen, d.h. du kannst den Grenzwert in die Funktion mit reinziehen. Bei den anderen Grenzwerten musst du l´hospital anwenden. Einige Beispiele sind in der MatheBank vorgerechnet, bei deinen Aufgaben gehts genauso.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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danke erstmal, ich werd die aufgaben nochmal rechnen und meine versuche hier einstellen. aber ich verstehe nicht wieso ich beim 2. l'hospital verwenden darf: es ist doch nicht 0/0, sondern -1/0, womit die voraussetzung nicht mehr gegeben ist?
so, hab mich derweil mit den anderen beschäftigt:
c) = [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{5cos5xsin3x}{3cos3xsin5x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{5cos5xtan3x}{3sin5x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{-25cos5xtan3x + 15cos5x + 15cos5xtan²3x}{15cos5x} [/mm] = [mm] \bruch{15cos5x}{15cos5x} [/mm] = 1
a) = [mm] \limes_{x\rightarrow0}e^{\bruch{3ln\bruch{sinx}{x}}{x^{2}}} [/mm] = [mm] e^\limes_{x\rightarrow0}{\bruch{3}{x^{2}}*0}
[/mm]
aber da hab ich immernoch doe 0 im nenner und das geht nicht. also hab ich irgendwas flasch gemacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 15.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
bei b) habe ich mich verlesen. Das muss dann divergieren.
c) sieht soweit richtig aus, wenn ich mich jetzt nicht vertue.
Bei a) kannst du den Limes in den Exponenten reinnehmen, da exp stetig ist. Dann musst du den inneren Grenzwert bestimmen und in exp einsetzten. Der Term in In geht gegen 0, also In(0)=-unendlich und dann wird noch mit etwas großem und positiven, 1/x² multipliziert, also müsste der innere Term gegen -unendlich gehen und der Grenzwert folglich 0 sein.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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danke nochmal für die antwort, aber das mit a) habe immer noch nicht verstanden. habe das gefühl dass ich das noch nie gemacht habe. kannst du es mir an dem oder an einem ähnlichen beispiel explizit zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 15.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
nehmen wir z.B. [mm] x^{x} [/mm] für x gegen 0+.
Dann:
lim [mm] x^{x}=lim [/mm] exp(xlog(x))=exp (lim xlog(x)), da exp stetig (s. Definition Stetigkeit)
Frage: Was ist nun lim xlog(x) für x gegen 0+?
Antwort: Wende l´hospital an.
lim xlog(x) das ist der Fall 0*-unendlich,also umschreiben
=lim log(x)/(1/x) l´hospital anwenden
=lim (1/x)/(-1/x²) ausrechnen
=lim -x x geht gegen 0+,also
=0
Oben einsetzten ergibt:
lim [mm] x^{x}=exp [/mm] (0)=1 für x gegen 0+.
Bei deinem Beispiel habe ich genau das gleiche gemacht. Nur den inneren Grenzwert habe ich bestimmt in dem ich mir die einzelnen Terme genau angeguckt habe.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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