3 Pers. im gl. Monat Geburtst. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie groß ist bei N [mm] \ge [/mm] 3 Personen die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Personen im gleichen Monat Geburtstag haben? (Alle Monaten haben 30 Tage). |
Ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Für N > 24 gilt das meiner Meinung nach immer.
Das heißt, ich muss nur 3 [mm] \le [/mm] N [mm] \le [/mm] 24 betrachten.
Geht es über die Gegenwahrscheinlichkeit?
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> Wie groß ist bei N [mm]\ge[/mm] 3 Personen die Wahrscheinlichkeit,
> dass mindestens 3 Personen im gleichen Monat Geburtstag
> haben? (Alle Monaten haben 30 Tage).
>
> Ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
>
> Für N > 24 gilt das meiner Meinung nach immer.
> Das heißt, ich muss nur 3 [mm]\le[/mm] N [mm]\le[/mm] 24 betrachten.
>
> Geht es über die Gegenwahrscheinlichkeit?
Wie kommst du darauf, dass die Aussage für N>24
stets gültig sein soll ? Dies kann man nämlich
recht leicht erklären ...
Für die eigentliche Aufgabe ist eine solche Kenntnis
(falls sie auch stimmen sollte) im Übrigen kaum
hilfreich.
Und ja, die Betrachtung einer Gegenwahrscheinlichkeit
ist nützlich. Rechne dies doch mal vor !
LG Al-Chw.
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Bis 24 Personen kann man sie so anordnen, dass es passt, d.h. in jedem Monat befinden sind höchstens 2 Personen.
Kommt eine weitere Person hinzu, dann hat in irgendeinem Monat mindestens 3 Personen Geburtstag.
Das Gegenereignis wäre:
Höchstens 2 Personen haben im gleichen Monat Geburtstag.
Ich betrachte erstmal den Fall, dass pro Monat nur genau eine Person Geburtstag hat.
Es gibt [mm] \vektor{12 \\ 12 - N} [/mm] Möglichkeiten die Personen in verschiedenen Monaten zu platzieren.
Da ein Monat 30 Tage hat, gibt es 30 Möglichkeiten eine Person einen Tag zuzuordnen.
Daher gibt es [mm] 30^N [/mm] Möglichkeiten.
Die Personen können aber auch untereinander permutieren, also kommt noch $\ N!$ hinzu
Insgesamt also
$ [mm] \vektor{12 \\ 12 - N} \cdot 30^N \cdot [/mm] N! $
Jetzt den Fall, dass 2 Personen im gleichen Monat Geburtstag haben:
Hier habe ich so meine Probleme...
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Hallo,
zunächst mal: dein Einwand mit den N>24 ist völlig richtig.
Aber diese Rechnung hier:
> Das Gegenereignis wäre:
> Höchstens 2 Personen haben im gleichen Monat Geburtstag.
>
> Ich betrachte erstmal den Fall, dass pro Monat nur genau
> eine Person Geburtstag hat.
>
> Es gibt [mm]\vektor{12 \\
12 - N}[/mm] Möglichkeiten die Personen
die kann ja nur für maximal 12 Personen richtig sein. Sonst hättest du negative Zahlen im Binomialkoeffizient.
> Jetzt den Fall, dass 2 Personen im gleichen Monat
> Geburtstag haben:
>
> Hier habe ich so meine Probleme...
Na ja, es ist auch eine biestige Aufgabe.  Schau dir mal diesen ![[]](/images/popup.gif)
Ansatz dazu an, vielleicht kannst du ihn ja nachvollziehen.
Gruß, Diophant
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Ich hab versucht das analog zu machen:
W'keit, dass nur genau eine Person in einem Monat Geburtstag hat:
[mm] P[A_0] [/mm] = 12 [mm] \cdot [/mm] 11 [mm] \cdots [/mm] (12 - n + 1)
w'keit, dass genau zwei Personen in einem Monat G'tag haben:
[mm] P[A_1] [/mm] + [mm] P[A_2] [/mm] + ...
[mm] P[A_1] [/mm] = [mm] \vektor{n \\ 2} \vektor{30 \\ 2} \cdot [/mm] 12 [mm] \cdot [/mm] 11 [mm] \cdots [/mm] (12 - n + 2)
[mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] deswegen, weil ich hier genau eine 2-Gruppe betrachte.
[mm] \vektor{30 \\ 2} [/mm] deshalb, weil es in einem Monat 30 Tage gibt und die 2 Personen verschiedene Mögl. haben platziert zu werden.
[mm] P[A_2] [/mm] = [mm] \vektor{n \\ 2} \vektor{30 \\ 2} \vektor{n-2 \\ 2} \vektor{30 \\ 2} \cdot [/mm] 12 [mm] \cdot [/mm] 11 [mm] \cdots [/mm] (12 - n + 3)
Hier bildet man zwei 2-Gruppen
...
Stimmt es bisher soweit, oder habe ich das falsch übertragen?
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Hallo,
> Stimmt es bisher soweit, oder habe ich das falsch
> übertragen?
nein, es stimmt nicht. Beachte mal folgendes: bei der Vorgehensweise auf der verlinkten Seite bertachtet man einzelne Tage. In deiner Aufgabe ist aber nur nach den Monaten gefragt (das ändert am eigentlichen Problem natürlich nichts, nur die vorkommenden Zahlen werden kleiner).
Die Angabe aus der Aufgabenstellung, dass man für jeden Monat 30 Tage voraussetzen soll, dient nur dazu, dass jeder Monat gleichwahrscheinlich Geburtsmonmat irgendeiner Person ist.
Dein Ansatz für den Fall, dass niemand im gleichen Monat Geburtstag hat, führt in die richtige Richtung (aber nur für den Fall, dass [mm] N\le{12}). [/mm] Aber da steht noch keine Wahrscheinlichkeit, sondern nur eine Abzählung günstiger Fälle!
Und für die Anzahl der Möglichkeiten, dass genau zwei Personen im gleichen Monat Geburstatg haben, hast du den Tipp auch falsch verstanden: die Zahlen [mm] g_i [/mm] zählen die günstigen Fälle dafür, dass i Paare jeweils am gleichen Tag Geburtstag haben, jedes Paar aber natürlich an einem anderen Tag.
Am Ende steht ja dann da, wie man aus den Zahlen [mm] g_i [/mm] die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses [mm] \overline{A}:=\mbox{'Alle n Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag oder genau je zwei Personen haben am gleichen Tag Geburtstag'} [/mm] bekommt.
Das müsstest du jetzt mal auf dein Problem übertragen.
Gruß, Diophant
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