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4 Fragen zur Elektrostatik!: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:13 Di 06.07.2004
Autor: Stepsen

Die ersten beiden Aufgaben sind hier:

1.
In jeder Ecke eines gleichseitigen Dreiecks mit 10 cm Seitenlänge
befindet sich eine kleine Kugel, die +10^-7 C trägt.
Welche Ladung muß eine kleine Kugel im Schwerpunkt des
Dreiecks tragen, damit das System stabil ist.

2.
Welche durchschnittliche elektrische Flußdichte besteht auf einer
Kugelschale (d=10 cm),in deren Inneren sich [mm] 2·10^6 [/mm] Protonen und
7 [mm] ·10^5 [/mm] Elektronen befinden?

alles im Vakuum und schwerelos

die Aufgaben 3 und 4 sind unter dem Link zu finden (konnte es nicht reinkopieren, da sonst die Skizzen fehlen würden!)
http://www-pbp.physik.hu-berlin.de/Lehre/Aufg/12.html

Also ich brauche keine kompletten Lösungen, aber wenn mir jemand nen hilfreichen Ansatz liefern könnte wäre mir schon sehr geholfen!


(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt)
  



        
Bezug
4 Fragen zur Elektrostatik!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Mi 07.07.2004
Autor: ladislauradu

Hallo,

Antwort auf Frage 1.
--------------------------
Wir wählen den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunt des Dreiecks. Dadurch, ist das System symetrisch bei einer Rotation um die z-Achse mit 120°. Also, wenn eine Kugel in einem Eck in Gleichgewicht ist, dann ist das ganze System stabil.
Bezeichnen wir die Ladung in den Ecken mit q und die im Schwerpunkt mit Q.
Die Koordinaten der Eckpunkte sind:
[mm] A(0|\bruch{a}{3} \wurzel{3}), B(-\bruch{a}{2}|-\bruch{a}{6} \wurzel{3}), C(\bruch{a}{2}|- \bruch{a}{6} \wurzel{3}). [/mm]
a ist die Seitenlänge des Dreiecks.

Die Kräfte die auf die Kugel im punkt A wirken, sind

[mm] \vec{F}_{A0}=\bruch{qQ}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{ r_{A0}^{3}} \vektor{ x_{A}- x_{0} \\ y_{A}-y_{0}} [/mm]
wobei
[mm] r_{A0}= \wurzel{(x_{A}-x_{0})^2+(y_{A}-y_{0})^2} [/mm]
[mm] r_{A0}= \wurzel{(0-0)^2+((\bruch{a}{3} \wurzel{3})-0)^2} [/mm]
[mm] r_{A0}=\bruch{a}{3} \wurzel{3} [/mm]
[mm] \vec{F}_{A0}=\bruch{qQ}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{(\bruch{a}{3} \wurzel{3})^{3}} \vektor{0 \\ \bruch{a}{3} \wurzel{3}} [/mm]
[mm] \vec{F}_{A0}=\bruch{qQ}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{3}{a^{2}} \vektor{0\\1} [/mm]

Ähnliches gilt Auch für die 2 anderen Kräfte. Man ersetzt in der obigen Formel den Index 0 durch B und dann durch C, und Q durch q.
[mm] \vec{F}_{AB}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{ r_{AB}^{3}} \vektor{ x_{A}- x_{B} \\ y_{A}-y_{B}} [/mm]
wobei
[mm] r_{AB}= \wurzel{(x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-y_{B})^2} [/mm]
[mm] r_{AB}= \wurzel{(0-(-\bruch{a}{2}))^2+((\bruch{a}{3} \wurzel{3})-(-\bruch{a}{6} \wurzel{3}))^2} [/mm]
[mm] r_{AB}=a[/mm]
[mm] \vec{F}_{AB}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{a^{3}} \vektor{ \bruch{a}{2} \\ \bruch{a}{2} \wurzel{3}} [/mm]
[mm] \vec{F}_{AB}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{2a^{2}} \vektor{1 \\ \wurzel{3}} [/mm]

[mm] \vec{F}_{AC}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{ r_{AC}^{3}} \vektor{ x_{A}- x_{C} \\ y_{A}-y_{C}} [/mm]
wobei
[mm] r_{AC}= \wurzel{(x_{A}-x_{C})^2+(y_{A}-y_{C})^2} [/mm]
[mm] r_{AC}= \wurzel{(0-(\bruch{a}{2}))^2+((\bruch{a}{3} \wurzel{3})-(-\bruch{a}{6} \wurzel{3}))^2} [/mm]
[mm] r_{AC}=a[/mm]
[mm] \vec{F}_{AC}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{a^{3}} \vektor{ -\bruch{a}{2} \\ \bruch{a}{2} \wurzel{3}} [/mm]
[mm] \vec{F}_{AC}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{2a^{2}} \vektor{-1 \\ \wurzel{3}} [/mm]

Man stellt die Bedingung, dass die vektorielle Summe dieser 3 Kräfte den Vektor 0 ergibt.

[mm] \vec{F}_{A0}+\vec{F}_{AB}+\vec{F}_{AC}= \vektor{0 \\ 0} [/mm]

[mm] \bruch{q}{4 \pi \varepsilon a^{2}}(3Q \vektor{0 \\ 1}+\bruch{q}{2}\vektor{1 \\ \wurzel{3}}+\bruch{q}{2}\vektor{-1 \\ \wurzel{3}})=\vektor{0 \\ 0} [/mm]

So erhält man für die Ladung Q:
[mm] Q=-\bruch{\wurzel{3}}{3}q [/mm]
Das Ergebnis ist unabhängig von der Seitenlänge.

Hoffentlich hat es dir weitergeholfen.

Mit freundlichen Grüßen,
Ladis

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