50 Fehler auf 500 Seiten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | In eine Buch mit 500 Seiten werden 50 Druckfehler zufällig verteilt.
a) Wahrscheinlichkeit das eine Seite keine Fehler enthält
b) Wahrscheinlichkeit das eine Seite genau einen Fehler enthält
c) Wahrscheinlichkeit das eine Seite mehr als einen Fehler enthält |
HI so weit bin ich schonmal:
Sei A = {1,...,500}
Also hab als Grundraum:
G = { [mm] (w_{1},...,w_{50}) [/mm] | [mm] w_{i} \in [/mm] A } definiert.
Wenn ich richtig liege ist die Anzahl der möglichen Kombinationen:
#G = [mm] 500^{50}
[/mm]
zu a)
[mm] E_{j} [/mm] = {w [mm] \in [/mm] G | [mm] w_{i} \not= [/mm] j [mm] \forall [/mm] i} müsste die gesuchte Menge sein.
und [mm] E^{c}_{j} [/mm] = {w [mm] \in [/mm] G | [mm] \exists [/mm] i mit [mm] w_{i} [/mm] = j}
und nun zu meiner Frage:
Die anzahl der Möglichkeiten
# [mm] E_{j} [/mm] = [mm] 499^{50} [/mm] und # [mm] E^{c}_{j}= 50*500^{49}
[/mm]
dann ist aber [mm] P(E_{j}) [/mm] = [mm] \bruch{499^{50}}{500^{50}} \not= [/mm] 1 - [mm] \bruch{50*500^{49}}{500^{50}} [/mm] = 1 - [mm] P(E^{c}_{j})
[/mm]
Warum?? wo ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> In eine Buch mit 500 Seiten werden 50 Druckfehler zufällig
> verteilt.
>
> a) Wahrscheinlichkeit das eine Seite keine Fehler enthält
>
> b) Wahrscheinlichkeit das eine Seite genau einen Fehler
> enthält
>
> c) Wahrscheinlichkeit das eine Seite mehr als einen Fehler
> enthält
Was heißt eigentlich "eine Seite".
Bei 500 Seiten und nur 50 Fehlern gibt es natürlich "eine Seite" (sogar mindestens 450 Seiten), die keinen Fehler enthalten --> sicheres Ereignis.
Gemeint ist hier sicher "eine beliebig ausgewählte Seite" ???
Mache dir klar, dass die Zufallsgröße X (Anzahl der Fehler auf der betrachteten Seite) binomialverteilt ist mit den Parametern n=50 und p=0,1.
Damit sind a) und b) direkt lösbar, wenn man stur nach Formel P(X=0) bzw. P(X=1) ausrechnet.
c) bekommt man am schnellsten über das Gegenereignis, wenn man 1- (P(X=0) +P(X=1) ) rechnet.
Gruß Abakus
> HI so weit bin ich schonmal:
>
> Sei A = {1,...,500}
> Also hab als Grundraum:
>
> G = { [mm](w_{1},...,w_{50})[/mm] | [mm]w_{i} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A } definiert.
>
> Wenn ich richtig liege ist die Anzahl der möglichen
> Kombinationen:
> #G = [mm]500^{50}[/mm]
>
> zu a)
>
> [mm]E_{j}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {w [mm]\in[/mm] G | [mm]w_{i} \not=[/mm] j [mm]\forall[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
i} müsste die
> gesuchte Menge sein.
>
> und [mm]E^{c}_{j}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {w [mm]\in[/mm] G | [mm]\exists[/mm] i mit [mm]w_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= j}
>
>
> und nun zu meiner Frage:
>
> Die anzahl der Möglichkeiten
> # [mm]E_{j}[/mm] = [mm]499^{50}[/mm] und # [mm]E^{c}_{j}= 50*500^{49}[/mm]
>
> dann ist aber [mm]P(E_{j})[/mm] = [mm]\bruch{499^{50}}{500^{50}} \not=[/mm] 1
> - [mm]\bruch{50*500^{49}}{500^{50}}[/mm] = 1 - [mm]P(E^{c}_{j})[/mm]
>
> Warum?? wo ist mein Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Do 23.10.2008 | | Autor: | Pawelos |
> > In eine Buch mit 500 Seiten werden 50 Druckfehler zufällig
> > verteilt.
> >
> > a) Wahrscheinlichkeit das eine Seite keine Fehler enthält
> >
> > b) Wahrscheinlichkeit das eine Seite genau einen Fehler
> > enthält
> >
> > c) Wahrscheinlichkeit das eine Seite mehr als einen Fehler
> > enthält
HI schon mal danke für die Antwort.
Hast vollkommen recht es sollte heißen "eine beliebig ausgewählte Seite".
mit Binomialverteilung hab ich es jetzt auch gemacht aber mir ging es eher darum die Mächtigkeit der Menge zu bestimmen.(weil ich das zum ersten mal mache)
Ich weiß jetzt das [mm] \bruch{50*500^{49}}{500^{50}} [/mm] = [mm] P(E^{c}_{j})
[/mm]
falsch ist aber ich weiß immer noch nicht wie ich es bestimmen könnte.
und was meinst du eigentlich mit p=0,1
> Was heißt eigentlich "eine Seite".
> Bei 500 Seiten und nur 50 Fehlern gibt es natürlich "eine
> Seite" (sogar mindestens 450 Seiten), die keinen Fehler
> enthalten --> sicheres Ereignis.
> Gemeint ist hier sicher "eine beliebig ausgewählte Seite"
> ???
> Mache dir klar, dass die Zufallsgröße X (Anzahl der Fehler
> auf der betrachteten Seite) binomialverteilt ist mit den
> Parametern n=50 und p=0,1.
> Damit sind a) und b) direkt lösbar, wenn man stur nach
> Formel P(X=0) bzw. P(X=1) ausrechnet.
> c) bekommt man am schnellsten über das Gegenereignis, wenn
> man 1- (P(X=0) +P(X=1) ) rechnet.
> Gruß Abakus
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> > > In eine Buch mit 500 Seiten werden 50 Druckfehler zufällig
> > > verteilt.
> > >
> > > a) Wahrscheinlichkeit das eine Seite keine Fehler enthält
> > >
> > > b) Wahrscheinlichkeit das eine Seite genau einen Fehler
> > > enthält
> > >
> > > c) Wahrscheinlichkeit das eine Seite mehr als einen Fehler
> > > enthält
>
> HI schon mal danke für die Antwort.
>
> Hast vollkommen recht es sollte heißen "eine beliebig
> ausgewählte Seite".
>
> mit Binomialverteilung hab ich es jetzt auch gemacht aber
> mir ging es eher darum die Mächtigkeit der Menge zu
> bestimmen.(weil ich das zum ersten mal mache)
> Ich weiß jetzt das [mm]\bruch{50*500^{49}}{500^{50}}[/mm] =
> [mm]P(E^{c}_{j})[/mm]
> falsch ist aber ich weiß immer noch nicht wie ich es
> bestimmen könnte.
>
> und was meinst du eigentlich mit p=0,1
Wenn 50 Fehler auf 500 Seiten verteilt sind, hat man im Schnitt 1 Fehler auf 10 Seiten (bzw. 0,1 Fehler pro Seite).
>
>
> > Was heißt eigentlich "eine Seite".
> > Bei 500 Seiten und nur 50 Fehlern gibt es natürlich
> "eine
> > Seite" (sogar mindestens 450 Seiten), die keinen Fehler
> > enthalten --> sicheres Ereignis.
> > Gemeint ist hier sicher "eine beliebig ausgewählte
> Seite"
> > ???
> > Mache dir klar, dass die Zufallsgröße X (Anzahl der
> Fehler
> > auf der betrachteten Seite) binomialverteilt ist mit den
> > Parametern n=50 und p=0,1.
> > Damit sind a) und b) direkt lösbar, wenn man stur nach
> > Formel P(X=0) bzw. P(X=1) ausrechnet.
> > c) bekommt man am schnellsten über das Gegenereignis,
> wenn
> > man 1- (P(X=0) +P(X=1) ) rechnet.
> > Gruß Abakus
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> > > > In eine Buch mit 500 Seiten werden 50 Druckfehler zufällig
> > > > verteilt.
> > > >
> > > > a) Wahrscheinlichkeit das eine Seite keine Fehler enthält
> > > >
> > > > b) Wahrscheinlichkeit das eine Seite genau einen Fehler
> > > > enthält
> > > >
> > > > c) Wahrscheinlichkeit das eine Seite mehr als einen Fehler
> > > > enthält
> >
> > HI schon mal danke für die Antwort.
> >
> > Hast vollkommen recht es sollte heißen "eine beliebig
> > ausgewählte Seite".
> >
> > mit Binomialverteilung hab ich es jetzt auch gemacht aber
> > mir ging es eher darum die Mächtigkeit der Menge zu
> > bestimmen.(weil ich das zum ersten mal mache)
> > Ich weiß jetzt das [mm]\bruch{50*500^{49}}{500^{50}}[/mm] =
> > [mm]P(E^{c}_{j})[/mm]
> > falsch ist aber ich weiß immer noch nicht wie ich es
> > bestimmen könnte.
> >
> > und was meinst du eigentlich mit p=0,1
>
> Wenn 50 Fehler auf 500 Seiten verteilt sind, hat man im
> Schnitt 1 Fehler auf 10 Seiten (bzw. 0,1 Fehler pro
> Seite).
Autsch! Habe gerade einen Denkfehler bemerkt. Dass ein Fehler ausgerechnet auf meiner betrachteteten Seite landet, hat natürlich die Wahrscheinlichkeit von p= 1/500.
Keinen Fehler auf meiner Seite habe ich, wenn alle 50 Fehler auf anderen Seiten landen, das ist (499/500)^50.
Genau einen Fehler habe ich, wenn Fehler Nr. 1 hier ist und die 49 anderen Fehler woanders oder wenn Fehler Nr. 2 hier ist und die anderen 49 Fehler woanders oder...
Insgesamt also [mm] 50*(1/500)*(499/500)^{49}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> >
> >
> > > Was heißt eigentlich "eine Seite".
> > > Bei 500 Seiten und nur 50 Fehlern gibt es natürlich
> > "eine
> > > Seite" (sogar mindestens 450 Seiten), die keinen Fehler
> > > enthalten --> sicheres Ereignis.
> > > Gemeint ist hier sicher "eine beliebig ausgewählte
> > Seite"
> > > ???
> > > Mache dir klar, dass die Zufallsgröße X (Anzahl der
> > Fehler
> > > auf der betrachteten Seite) binomialverteilt ist mit den
> > > Parametern n=50 und p=0,1.
> > > Damit sind a) und b) direkt lösbar, wenn man stur
> nach
> > > Formel P(X=0) bzw. P(X=1) ausrechnet.
> > > c) bekommt man am schnellsten über das
> Gegenereignis,
> > wenn
> > > man 1- (P(X=0) +P(X=1) ) rechnet.
> > > Gruß Abakus
> > >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Sa 25.10.2008 | | Autor: | eumel |
die wsk für 1 fehler auf ner beliebigen seite is doch:
[mm] \vektor{499+50-1 \\ 50} [/mm] : [mm] \vektor{500+50-1 \\ 50} [/mm] = 499/549 ?
wenn man sich eine seite nimmt, wo kein fehler ist, von 500, so bleiben ja noch 499, um 50 fehler zu verteilen und das wird durch die gesamtzahl an möglichkeiten geteilt, 50 fehler über 500 seiten zu verteilen.
wenn man dann den fall betrachtet, dass eine seite einen fehler hat, so ist die wsk: [mm] \vektor{499+49-1 \\ 49} [/mm] : [mm] \vektor{500+50-1 \\ 50} [/mm] = [mm] \bruch{12475}{150462} [/mm] ??
und bei c dann eben: 1-ergebnis(a)-ergebnis(b) ?
wär nett, ob einer das bestätigen kann bzw mir sagen kann, wo ich einen denkfehler hab, bin auch kein guter wahrscheinlichkeitstheoretiker ^^
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 25.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> die wsk für 1 fehler auf ner beliebigen seite is doch:
> [mm]\vektor{499+50-1 \\ 50}[/mm] : [mm]\vektor{500+50-1 \\ 50}[/mm] =
> 499/549 ?
>
> wenn man sich eine seite nimmt, wo kein fehler ist, von
> 500, so bleiben ja noch 499, um 50 fehler zu verteilen und
> das wird durch die gesamtzahl an möglichkeiten geteilt, 50
> fehler über 500 seiten zu verteilen.
es geht hier um eine beliebige aber fest gewählte Seite, nicht um die Wahrscheinlichkeit, daß es eine Seite gibt, die ohne Fehler ist.
Das versuchst du hier zu berechnen, allerdings auch nicht ganz richtig: Denn die von dir gezählten Möglichkeiten sind nicht gleich wahrscheinlich, daher darfst du die Laplace-Formel nicht verwenden. Eine Berechnung erübrigt sich aber auch schon deshalb, weil es ganz sicher ist, daß es eine Seite gibt, die keinen Fehler enthält, wenn man 50 Fehler auf 500 Seiten verteilt.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 25.10.2008 | | Autor: | eumel |
ich check jetzt gerad nur nicht, warum die wsk für
keinen fehler: (499/500)^50 ist,
einen fehler: 50 / 500 * (499/500)^50 sein soll.
für mehr als einen ist ja dann einfach, falls das oben stimmt, 1- 50 / 500 * (499/500)^50- (499/500)^50.
wär nett, wenn einer kurz was dazu sagen kann, hab n fragezeichen im gesicht stehn -.-
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Sa 25.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> ich check jetzt gerad nur nicht, warum die wsk für
> keinen fehler: (499/500)^50 ist,
>
> einen fehler: 50 / 500 * (499/500)^50 sein soll.
>
> für mehr als einen ist ja dann einfach, falls das oben
> stimmt, 1- 50 / 500 * (499/500)^50- (499/500)^50.
das stimmt schon (bis auf Tippfehler: ^49), wie abakus schon erklärt hat, ist die Anzahl der Fehler auf einer beliebigen aber fest gewählten Seite binomialverteilt.
LG
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Sa 25.10.2008 | | Autor: | eumel |
jaaa shitte, hab vercheckt, dasset um bin.verteilung und net den koeffizienten geht xD
danke trotzdem
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 26.10.2008 | | Autor: | eumel |
ist mein tippfehler ^50 anstatt ^49 nur bei dem "genau einen fehler auf der seite" falsch oder überall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 So 26.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
nur in dem mittleren Term und dann in dem untersten Term in der Mitte.
LG
Will
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