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Wie berechnet man ||v|| mit Skalarprodukten induzierten Normen?
Das verstehe ich überhaupt nicht ...
Wie berechnet man abstand d(v,w) durch Verwendung von Betrag-, Euklidische oder Maximumsnorm?
d(v,w) (so weiss ich) ist gleich ||v-w||, oder???
Was bedeutet orthogonale Basis? OK, orthogonale Matrix - weiss ich, aber über Basis...?
Wie berechnet man eine orthonomierte Basis eines von einer Basis "B" aufgespannten Vektorraums?
Was ist Basis? :(
Was ist Eigenraum und wie berechnet man eine Basis eines Eigenraums?
Bitte um einfache Erklärungen für dumme Studenten (wie ich ... :) ).
Danke im voraus
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> Wie berechnet man ||v|| mit Skalarprodukten induzierten
> Normen?
> Das verstehe ich überhaupt nicht ...
Hallo,
wenn wir das Skalarprrudukt mit < . , . > bezeichnen, ist [mm] ||v||=\wurzel{}.
[/mm]
>
> Wie berechnet man abstand d(v,w) durch Verwendung von
> Betrag-, Euklidische oder Maximumsnorm?
> d(v,w) (so weiss ich) ist gleich ||v-w||, oder???
Indem Du v-w rechnetst, und dann die Def. der jeweiligen Norm verwendest.
>
> Was bedeutet orthogonale Basis?
Eine Basis, deren Elemente paarweise orthogonal sind, deren Skalarprodukt also =0 ist.
> OK, orthogonale Matrix -
> weiss ich, aber über Basis...?
>
> Wie berechnet man eine orthonomierte Basis eines von einer
> Basis "B" aufgespannten Vektorraums?
Mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren.
> Was ist Basis? :(
Wie bitte??? Das ist doch nicht Dein Ernst??? Das Semster ist nahezu um, und Du hast Dir noch nicht erarbeitet, was eine Basis ist??? Ich hoffe, ich habe das falsch verstanden.
Achso: Basis= linear unabhängige Familie v. Vektoren, die den Vektorraum aufspannt.
> Was ist Eigenraum und wie berechnet man eine Basis eines
> Eigenraums?
Der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] der Matrix A ist der Lösungsraum Des homogenen linearen Gleichungssystems
[mm] (A-\lambda)x=0, [/mm] also der Kern v. [mm] A-\lambda.
[/mm]
Man berechnet das so, wie man die Basis des Kerns einer jeden Matrix berechnet.
Gruß v. Angela
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OK, also sehen wir ob ich das gut verstanden habe (auch meine Kollegen werden das lesen :) )...
haben wir zwei Vektoren:
u = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
v = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
betrag: dann ist ||v|| = [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{4+9+1} [/mm] = [mm] \wurzel{14}?
[/mm]
jetzt zu abstand: d(u,v) ist:
||u-v|| = [mm] ||\vektor{1 - 2 \\ 2 - 3 \\ 3 - 1}|| [/mm] = [mm] ||\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}||
[/mm]
und dann ist Euklidsiche Norm z.B.: [mm] \wurzel{1+1+4} [/mm] = [mm] \wurzel{6}?
[/mm]
und jetzt orthonomierte Basis des von der Basis "B" augespannten Vektorraumes:
gegeben sind z.B.: V = [mm] \IR^{2}
[/mm]
B = { [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] }
Skalarprodukt = <v,w> = [mm] 2*x_{1}*y_{1} [/mm] + [mm] 3*x_{2}*y_{2}
[/mm]
dann, [mm] w_{1} [/mm] von [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] ist gleich [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und [mm] w_{2} [/mm] von [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ist: [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
daraus folgt die orthonomierte basis [mm] B_{o} [/mm] = { [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ -1} [/mm] }
Was fuer Fehler habe ich gemacht?
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> haben wir zwei Vektoren:
> u = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> v = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> betrag: dann ist ||v|| = [mm]\wurzel{}[/mm] = [mm]\wurzel{4+9+1}[/mm] =
> [mm]\wurzel{14}?[/mm]
Hallo,
wenn Du die Norm meinst, die durch das Standardskalarprodukt induziert ist, dann stimmt's so.
>
> jetzt zu abstand: d(u,v) ist:
>
> ||u-v|| = [mm]||\vektor{1 - 2 \\ 2 - 3 \\ 3 - 1}||[/mm] =
> [mm]||\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}||[/mm]
> und dann ist Euklidsiche Norm
> z.B.: [mm]\wurzel{1+1+4}[/mm] = [mm]\wurzel{6}?[/mm]
Ja, mit der euklidischen Norm, wohlgemerkt.
>
> und jetzt orthonomierte Basis des von der Basis "B"
> augespannten Vektorraumes:
>
> gegeben sind z.B.: V = [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> B = { [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Skalarprodukt = <v,w> = [mm]2*x_{1}*y_{1}[/mm] + [mm]3*x_{2}*y_{2}[/mm]
Ich nehme mal an, mit [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] sind die Komponenten v. v und w bzgl der Standardbasis gemeint.
>
> dann, [mm]w_{1}[/mm] von [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] ist gleich
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
Ja.
> und [mm]w_{2}[/mm] von
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ist: [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
Ich weiß nicht, was Du genau gerechnet hast. Fakt ist: [mm] \vektor{0 \\ -1} [/mm] ist nicht normiert, denn seine Länge ist [mm] \wurzel{3}.
[/mm]
Orthogonal sind sie bzgl. des v. Dir definierten Skalarproduktes.
Gruß v. Angela
>
> daraus folgt die orthonomierte basis [mm]B_{o}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Was fuer Fehler habe ich gemacht?
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Warum ist die Länge von [mm] \vektor{0 \\ -1} [/mm] = [mm] \wurzel{-3} [/mm] ...?
[mm] ||\vektor{0 \\ -1}|| [/mm] = [mm] \wurzel{ 0^{2} + (-1)^{2} } [/mm] = 1 ...?
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> Warum ist die Länge von [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm] = [mm]\wurzel{-3}[/mm]
> ...?
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> [mm]||\vektor{0 \\ -1}||[/mm] = [mm]\wurzel{ 0^{2} + (-1)^{2} }[/mm] = 1 ...?
Du hast doch gesagt, daß Du bezüglich solche eines Skalarproduktes rechnest:
<x,y> = $ [mm] 2\cdot{}x_{1}\cdot{}y_{1} [/mm] $ + $ [mm] 3\cdot{}x_{2}\cdot{}y_{2} [/mm] $
Gruß v. Angela
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