A-A' messbar < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Di 10.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Seien [mm] (\Omega,\mathcal{A}) [/mm] ein Messraum und [mm] \Omega' [/mm] eine überabzählbare Menge. Durch
[mm] \mathcal{A'}:=\{A' \in \mathcal{P}(\Omega') | A' \mbox{abzählbar oder} A'^c \mbox{abzählbar} \} [/mm]
wird eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega' [/mm] definiert, die vom Mengensystem der einpunktigen Mengen erzeugt wird (braucht man nicht zu zeigen).
Sei [mm] T:\Omega \to \Omega' [/mm] eine Abbildung mit
[mm] T^{-1}(\{w'\}) \in \mathcal{A}, w' \in \Omega' [/mm]
Begründen Sie, warum dann T eine [mm] \mathcal{A}-\mathcal{A'}[/mm]-messbare Abbildung ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
die Definition für eine [mm] \mathcal{A}-\mathcal{A'}[/mm]-messbare Abbildung lautet in meinem Skript:
[mm] T^{-1}(A')=\{w \in \Omega |T(w) \in A'\} \in \mathcal{A}, A' \in \mathcal{A'} [/mm]
oder
[mm] T^{-1}(A') \subset \mathcal{A} [/mm]
Reicht es, wenn man [mm] A' = \{w'\} [/mm] setzt, dann wäre das Urbild w ein Element von [mm] \mathcal{A} [/mm], und da [mm] \mathcal{A'} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, ist auch [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] (und damit messbar) ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 10.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Susanne!
Hab die gleiche Aufgabe zu bearbeiten!
> Seien [mm](\Omega,\mathcal{A})[/mm] ein Messraum und [mm]\Omega'[/mm] eine
> überabzählbare Menge. Durch
> [mm]\mathcal{A'}:=\{A' \in \mathcal{P}(\Omega') | A' \mbox{abzählbar oder} A'^c \mbox{abzählbar} \}[/mm]
>
> wird eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega'[/mm] definiert, die vom
> Mengensystem der einpunktigen Mengen erzeugt wird (braucht
> man nicht zu zeigen).
>
> Sei [mm]T:\Omega \to \Omega'[/mm] eine Abbildung mit
> [mm]T^{-1}(\{w\}) \in \mathcal{A}, w' \in \Omega'[/mm]
>
Hier sollte es [mm] $T^{-1}(\{w'\})$ [/mm] heissen.
> Begründen Sie, warum dann T eine
> [mm]\mathcal{A}-\mathcal{A'}[/mm]-messbare Abbildung ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> die Definition für eine [mm]\mathcal{A}-\mathcal{A'}[/mm]-messbare
> Abbildung lautet in meinem Skript:
> [mm]T^{-1}(A')=\{w \in \Omega |T(w) \in A'\} \in \mathcal{A}, A' \in \mathcal{A'}[/mm]
>
> oder
> [mm]T^{-1}(A') \subset \mathcal{A}[/mm]
>
> Reicht es, wenn man [mm]A' = \{w'\}[/mm] setzt, dann wäre das
> Urbild w ein Element von [mm]\mathcal{A} [/mm], und da [mm]\mathcal{A'}[/mm]
> eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist, ist auch [mm]\mathcal{A}[/mm] eine
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] (und damit messbar) ?
>
Bin mir selbst unsicher und schwanke zwischen den Mglkeiten:
1)
Zu betrachten sind zwei Fälle:
Sei [mm] $A'\in\mathcal{A}'$.
[/mm]
i) ist $A'$ abzählbar, dann ist [mm] $A'=\sum_{w\in\mathcal{A}'}\{w\}$
[/mm]
ii) zweiter Fall [mm] $A^C'$ [/mm] ist abzählbar
auf beides mußt du [mm] $T^{-1}$ [/mm] loslassen und zeigen,dass [mm] $T^{-1}(A')\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt
2)
[mm] $\mathcal{A}'$ [/mm] wird von [mm] $\mathcal{K}'$:= [/mm] Menge der einpunktigen Mengen erzeugt - also [mm] $\mathcal{A}'=\sigma(\mathcal{K}')$
[/mm]
Die Abbildung [mm] $T:(\Omega,\mathcal{A})\to(\Omega',\mathcal{A}')$ [/mm] ist genau dann messbar, wenn
[mm] $(*)\quad T^{-1}(A')\in\mathcal{A}\quad(A'\in\mathcal{K}')$
[/mm]
gilt. (vgl Satz3.1.9)
Und $(*)$ gilt schon nach Voraussetzung. Kann aber irgendwie nicht glauben, dass das schon alles sein soll.
Deshalb Status vorerst auf teilweise beantwortet.
mFg iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 10.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo iks,
vielen Dank für deine Hilfe !!
> > Sei [mm]T:\Omega \to \Omega'[/mm] eine Abbildung mit
> > [mm]T^{-1}(\{w\}) \in \mathcal{A}, w' \in \Omega'[/mm]
> >
> Hier sollte es [mm]T^{-1}(\{w\})'[/mm] heissen.
>
Ups, du hast Recht, das korrigiere ich gleich mal - DANKE.
>
> Bin mir selbst unsicher und schwanke zwischen den
> Mglkeiten:
>
> 1)
>
> Zu betrachten sind zwei Fälle:
>
> Sei [mm]A'\in\mathcal{A}'[/mm].
>
> i) ist [mm]A'[/mm] abzählbar, dann ist
> [mm]A'=\sum_{w\in\mathcal{A}'}\{w\}[/mm]
>
> ii) zweiter Fall [mm]A^C'[/mm] ist abzählbar
>
> auf beides mußt du [mm]T^{-1}[/mm] loslassen und zeigen,dass
> [mm]T^{-1}(A')\in\mathcal{A}[/mm] gilt
>
> 2)
>
> [mm]\mathcal{A}'[/mm] wird von [mm]\mathcal{K}'[/mm]:= Menge der einpunktigen
> Mengen erzeugt - also [mm]\mathcal{A}'=\sigma(\mathcal{K}')[/mm]
>
> Die Abbildung
> [mm]T:(\Omega,\mathcal{A})\to(\Omega',\mathcal{A}')[/mm] ist genau
> dann messbar, wenn
>
> [mm](*)\quad T^{-1}(A')\in\mathcal{A}\quad(A'\in\mathcal{K}')[/mm]
>
> gilt. (vgl Satz3.1.9)
>
> Und [mm](*)[/mm] gilt schon nach Voraussetzung. Kann aber irgendwie
> nicht glauben, dass das schon alles sein soll.
>
> Deshalb Status vorerst auf teilweise beantwortet.
>
Ich wühle mich auch noch mal durchs Skript, aber 1) klingt doch gut.
Danke und eine lieben Gruss, Susanne.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:10 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1)
>
> Zu betrachten sind zwei Fälle:
>
> Sei [mm]A'\in\mathcal{A}'[/mm].
>
> i) ist [mm]A'[/mm] abzählbar, dann ist
> [mm]A'=\sum_{w\in\mathcal{A}'}\{w\}[/mm]
>
> ii) zweiter Fall [mm]A^C'[/mm] ist abzählbar
>
> auf beides mußt du [mm]T^{-1}[/mm] loslassen und zeigen,dass
> [mm]T^{-1}(A')\in\mathcal{A}[/mm] gilt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2)
>
> [mm]\mathcal{A}'[/mm] wird von [mm]\mathcal{K}'[/mm]:= Menge der einpunktigen
> Mengen erzeugt - also [mm]\mathcal{A}'=\sigma(\mathcal{K}')[/mm]
>
> Die Abbildung
> [mm]T:(\Omega,\mathcal{A})\to(\Omega',\mathcal{A}')[/mm] ist genau
> dann messbar, wenn
>
> [mm](*)\quad T^{-1}(A')\in\mathcal{A}\quad(A'\in\mathcal{K}')[/mm]
>
> gilt. (vgl Satz3.1.9)
>
> Und [mm](*)[/mm] gilt schon nach Voraussetzung. Kann aber irgendwie
> nicht glauben, dass das schon alles sein soll.
Doch, das geht so.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Mi 11.11.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
vielen Dank für dein Korrekturlesen und die Bestätigung.
Einen lieben Gruss, Susanne.
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