AGM-Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Do 23.03.2006 | | Autor: | joma |
| Aufgabe | | [mm] \wurzel[n]{ a_{1} a_{2} ... a_{n}} \le (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})/n [/mm] |
Dies ist, die AGM-Ungleichung, deren Beweis ich können sollte. Den Beweis habe ich eigentlich bekommen, doch er ist für mich nicht nachvollziehbar. Ich führe ihn hier kurz an und gebe anschließend meine Problemstellen an!
Beweis:
1) [mm] a_{1}=a_{2}=....=a_{n} [/mm] ist klar, dann gilt "="
Spezialfall (es genügt, die Behauptung im Spezialfall zu zeigen):
Dann:
seien [mm] a_{1}, [/mm] ...., [mm] a_{n} \in \IR_{>0} [/mm] beliebig
[mm] \lambda [/mm] := 1/n [mm] (a_{1}+....+a_{n}), a_{i}':= \lambda^{-1}a_{i}
[/mm]
[mm] a_{1}'+...+a_{n}' [/mm] = [mm] \lambda^{-1}*(a_{1}+....+a_{n})=n
[/mm]
Spezialfall: [mm] \wurzel[n]{a_{1}*...*a_{n}}=\wurzel[n]{\lambda^n*a_{1}'*...*a_{n}'}=\lambda*\wurzel[n]{a_{1}'*...*a_{n}'}\le \lambda [/mm] = [mm] 1/n(a_{1}+...+a_{n}) \Box
[/mm]
z.z. [mm] a_{1},...,a_{n} \le [/mm] 1, ("=" [mm] \gdw a_{1}=...=a_{n} [/mm] =1
Induktion nach n: n=1, [mm] a_{1}=1 [/mm] (passt)
n [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \to [/mm] n+1, seien [mm] a_{1},...,a_{n+1} \in \IR_{>0} [/mm] mit
[mm] a_{1}+...+a_{n+1}=n+1, [/mm] und sei die AGM-Ungleichung für je n Zahlen bewiesen.
Fall 1: [mm] a_{1}=...=a_{n+1}=1 [/mm] (passt)
Fall 2: nicht alle [mm] a_{i} [/mm] = 1
ohne Einschränkung (sonst Umnummerieren) [mm] a_{n}>1, a_{n+1}<1
[/mm]
z.z.: [mm] a_{1}*...*a_{n+1}<1
[/mm]
[mm] a_{1}+...+a_{n-1}+\underbrace {(a_{n}+a_{n+1}-1)}_{>0}=n
[/mm]
(IV) [mm] \Rightarrow a_{1}*...*a_{n-1}*(a_{n}+a_{n+1}-1) \le [/mm] 1
[mm] a_{n}*a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}+a_{n+1}-1-\underbrace {(a_{n}-1)(1-a_{n+1})}_{>0} [/mm] < [mm] a_{n}+a_{n+1}-1
[/mm]
[mm] \underbrace {a_{1}*...*a_{n-1}}_{>0}*(a_{n}*a_{n+1}) [/mm] < [mm] a_{1}*...*a_{n-1}*(a_{n}+a_{n+1}-1) \le [/mm] 1 [mm] \Box
[/mm]
Der Spezialfall ist mir logisch, wobei ich nicht begründen kann, wieso es reicht, die Behauptung im Spezialfall zu zeigen.
Die Induktion ist mir jedoch nicht mehr klar!
1. wieso muss das Gezeigte [mm] \le [/mm] 1 sein?
2. welche (IV) nehme ich her?
3. Wieso setzt man in der Multiplikation als letztes Glied [mm] (a_{n}+a_{n+1}-1) [/mm] ein?
Ich wäre wirklich sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte! Danke für die Bemühungen schon im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 23.03.2006 | | Autor: | joma |
Habe gerade Entdeckt, dass ich mein Problem in die falsche Kategorie gestellt habe... das gehört natürlich auf die Hochschule. Hoffe, das ist kein Problem hinsichtlich meiner Antworten....
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Hallo joma,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\wurzel[n]{ a_{1} a_{2} ... a_{n}} \le (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})/n[/mm]
>
> Dies ist, die AGM-Ungleichung, deren Beweis ich können
> sollte. Den Beweis habe ich eigentlich bekommen, doch er
> ist für mich nicht nachvollziehbar. Ich führe ihn hier kurz
> an und gebe anschließend meine Problemstellen an!
>
> Beweis:
>
> 1) [mm]a_{1}=a_{2}=....=a_{n}[/mm] ist klar, dann gilt "="
>
> Spezialfall (es genügt, die Behauptung im Spezialfall zu
> zeigen):
> Dann:
> seien [mm]a_{1},[/mm] ...., [mm]a_{n} \in \IR_{>0}[/mm] beliebig
> [mm]\lambda[/mm] := 1/n [mm](a_{1}+....+a_{n}), a_{i}':= \lambda^{-1}a_{i}[/mm]
>
> [mm]a_{1}'+...+a_{n}'[/mm] = [mm]\lambda^{-1}*(a_{1}+....+a_{n})=n[/mm]
> Spezialfall:
> [mm]\wurzel[n]{a_{1}*...*a_{n}}=\wurzel[n]{\lambda^n*a_{1}'*...*a_{n}'}=\lambda*\wurzel[n]{a_{1}'*...*a_{n}'}\le \lambda[/mm]
> = [mm]1/n(a_{1}+...+a_{n}) \Box[/mm]
>
> z.z. [mm]a_{1},...,a_{n} \le[/mm] 1, ("=" [mm]\gdw a_{1}=...=a_{n}[/mm] =1
> Induktion nach n: n=1, [mm]a_{1}=1[/mm] (passt)
> n [mm]\ge[/mm] 1, n [mm]\to[/mm] n+1, seien [mm]a_{1},...,a_{n+1} \in \IR_{>0}[/mm]
> mit
> [mm]a_{1}+...+a_{n+1}=n+1,[/mm] und sei die AGM-Ungleichung für je
> n Zahlen bewiesen.
>
> Fall 1: [mm]a_{1}=...=a_{n+1}=1[/mm] (passt)
> Fall 2: nicht alle [mm]a_{i}[/mm] = 1
> ohne Einschränkung (sonst Umnummerieren) [mm]a_{n}>1, a_{n+1}<1[/mm]
>
> z.z.: [mm]a_{1}*...*a_{n+1}<1[/mm]
> [mm]a_{1}+...+a_{n-1}+\underbrace {(a_{n}+a_{n+1}-1)}_{>0}=n[/mm]
>
> (IV) [mm]\Rightarrow a_{1}*...*a_{n-1}*(a_{n}+a_{n+1}-1) \le[/mm]
> 1
> [mm]a_{n}*a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}+a_{n+1}-1-\underbrace {(a_{n}-1)(1-a_{n+1})}_{>0}[/mm]
> < [mm]a_{n}+a_{n+1}-1[/mm]
>
> [mm]\underbrace {a_{1}*...*a_{n-1}}_{>0}*(a_{n}*a_{n+1})[/mm] <
> [mm]a_{1}*...*a_{n-1}*(a_{n}+a_{n+1}-1) \le[/mm] 1 [mm]\Box[/mm]
>
> Der Spezialfall ist mir logisch, wobei ich nicht begründen
> kann, wieso es reicht, die Behauptung im Spezialfall zu
> zeigen.
Die Positivitätsbedingung steht sicher irgendwo. Sonst [mm] a_1=1 a_2=1 a_3=-1 a_4=-1 [/mm] -> Die Ungleichung ist falsch. Wenn ein [mm] a_i=0 [/mm] dann stimmts offensichtlich. Deshalb kann man skalieren.
1. Beliebiges Zahlentupel hernehmen
2. Skalieren
3. Ungleichung beweisen
4. zurückskalieren
Wenn man also die skalierte Ungleichung bewiesen hat, hat man alle.
> Die Induktion ist mir jedoch nicht mehr klar!
> 1. wieso muss das Gezeigte [mm]\le[/mm] 1 sein?
Was passiert wenn Du die skalierten Daten in deine Ungleichung einsetzt?
> 2. welche (IV) nehme ich her?
Die Ungleichung gilt für ein n-Tupel.
> 3. Wieso setzt man in der Multiplikation als letztes Glied
> [mm](a_{n}+a_{n+1}-1)[/mm] ein?
Weil das genau die Ungleichung für ein n-Tupel ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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