AWA mit Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Do 06.01.2011 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende AWA mittels Potenzreihenansatz:
[mm] y'(x)=(y(x))^2-4x+x^2+2x^3-x^4 [/mm] |
Hallo,
also ich hänge bei der Aufgabe, daher poste ich mal meine Rechnungen. Nachdem man mit Picard-Lindelöf die Existenz einer eindeutigen Lsg. geprüft hat:
1) f(x,y) ste
2) [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = 2y [mm] \le [/mm] M, also beschränkt
Man wählt ja den Ansatz [mm] y(x)=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i [/mm] und [mm] y'(x)=\summe_{i=1}^{n}i*a_i*x^{i-1} [/mm] dies gilt für |x|<R=KR, der nochzu bestimmen ist.
Damit erhalte ich:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i*a_i*x^{i-1} [/mm] = [mm] (\summe_{i=0}^{n}a_ix^i)^2-4x+x^2+2x^3-x^4
[/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{i=1}^{n}a_jx^ja_ix^i
[/mm]
und hier ist mein Problem, wie mache ich da weiter, diese Doppelsumme stört irgendwie, oder muss man einen anderen Ansatz wählen, um die Doppelsumme zu vermeiden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die folgende AWA mittels Potenzreihenansatz:
> [mm]y'(x)=(y(x))^2-4x+x^2+2x^3-x^4[/mm]
> Hallo,
>
> also ich hänge bei der Aufgabe, daher poste ich mal meine
> Rechnungen. Nachdem man mit Picard-Lindelöf die Existenz
> einer eindeutigen Lsg. geprüft hat:
> 1) f(x,y) ste
Was ist bei Dir f ?
> 2) [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = 2y [mm]\le[/mm] M
Na, na, wo soll das denn gelten ????
, also beschränkt
>
> Man wählt ja den Ansatz [mm]y(x)=\summe_{i=0}^{n}a_ix^i[/mm]
Nein ! Potenzreihenansatz:
[mm]y(x)=\summe_{i=0}^{\infty}a_ix^i[/mm]
> und
> [mm]y'(x)=\summe_{i=1}^{n}i*a_i*x^{i-1}[/mm] dies gilt für
> |x|<R=KR, der nochzu bestimmen ist.
>
> Damit erhalte ich:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i*a_i*x^{i-1}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=0}^{n}a_ix^i)^2-4x+x^2+2x^3-x^4[/mm]
> [mm]=\summe_{j=1}^{n}\summe_{i=1}^{n}a_jx^ja_ix^i[/mm]
>
> und hier ist mein Problem, wie mache ich da weiter, diese
> Doppelsumme stört irgendwie, oder muss man einen anderen
> Ansatz wählen, um die Doppelsumme zu vermeiden?
[mm] y(x)^2 [/mm] kannst Du mit dem Cauchyprodukt berechnen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 06.01.2011 | | Autor: | Peon |
[mm] f=f(x,y)=(y(x)^2-4x+x^2+2x^3-x^4 [/mm] also wird die Gleichung als Funktion in Abhängigkeit von zwei Var.
Die Ableitung ergibt 2y und geht nur für y gegen [mm] \infty [/mm] gegen [mm] \infty, [/mm] ist also beschränkt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f=f(x,y)=(y(x)^2-4x+x^2+2x^3-x^4[/mm] also wird die Gleichung
> als Funktion in Abhängigkeit von zwei Var.
> Die Ableitung ergibt 2y und geht nur für y gegen [mm]\infty[/mm]
> gegen [mm]\infty,[/mm] ist also beschränkt, oder?
Nein. 2y ist unbeschränkt !!!
Ganz oben hast Du vergessen die Anfangsbedingung hinzuschreiben
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 06.01.2011 | | Autor: | Peon |
Anfansgwertbed. ist y(0)=1.
Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Wir hatte mal eine Aufgabe mit Potenzreihenansatz, da lautete die DGL: y'(x)=-x*y(x)=:f(x,y). Mit [mm] \bruch{df}{dy}=|-x|=|x| \le [/mm] M <=> x [mm] \in [/mm] I Intervall, also beschränkt auf Streifen, weil x höchstens im Unendlichen gegen [mm] \infty [/mm] geht?
Kannst Du mir sagen, wo da der Unterschied zu der o.g. Aufgabe ist, oder ist das nur ein formaler Fehler? Ich habe oft Schwierigkeiten, das formal korrekt aufzuschreiben...
Ich habe mir das Cauchy Produkt angeschaut und komme auf :
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n)^2=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}a_kx^k*a_{n-k}*x^{n-k} [/mm] ist das woweit richtig? Ich habe Schwierigkeiten, das mal nach dieser Formel für n=2 auszurechnen. Also wenn ich das mit dem Ansatz [mm] (...)^2 [/mm] mache, weiß ich ja, dass folgendes rauskommt:
[mm] a_0^2+a_0a_1x+a_0a_2x^2+a_1xa_0+(a_1x)^2+a_1xa_2x^2+a_2x^2a_0+a_2x^2a_1x+(a_2x^2)^2
[/mm]
Wenn ich nun aber in der Cauchy Formel n=2 einsetze, steht doch in er ersten Summe n=0, also 2=0 ? Hä, sorry Ana ist lange her, wahrscheinlich bin ich nur aus der Übung, kannst du mir da einmal aufschreiben, wie das aussieht, vielleicht hilft mir das für die weitere Berechnung der Aufgabe.
DANKE
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Hallo Peon,
> Anfansgwertbed. ist y(0)=1.
> Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Wir hatte mal eine
> Aufgabe mit Potenzreihenansatz, da lautete die DGL:
> y'(x)=-x*y(x)=:f(x,y). Mit [mm]\bruch{df}{dy}=|-x|=|x| \le[/mm] M
> <=> x [mm]\in[/mm] I Intervall, also beschränkt auf Streifen, weil
> x höchstens im Unendlichen gegen [mm]\infty[/mm] geht?
> Kannst Du mir sagen, wo da der Unterschied zu der o.g.
> Aufgabe ist, oder ist das nur ein formaler Fehler? Ich habe
> oft Schwierigkeiten, das formal korrekt aufzuschreiben...
>
> Ich habe mir das Cauchy Produkt angeschaut und komme auf :
>
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n)^2=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}a_kx^k*a_{n-k}*x^{n-k}[/mm]
Das stimmt soweit.
> ist das woweit richtig? Ich habe Schwierigkeiten, das mal
> nach dieser Formel für n=2 auszurechnen. Also wenn ich das
> mit dem Ansatz [mm](...)^2[/mm] mache, weiß ich ja, dass folgendes
> rauskommt:
>
Hier meinst Du sicher das n+1.te Glied der Potenzreihe [mm](\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n)^2[/mm]
Dies ergibt sich zu:
[mm]\summe_{k=0}^{2}a_k*a_{2-k}*x^{n}=\left(a_{0}*a_{2}+a_{1}*a_{1}+a_{2}*a_{0}\right)*x^{2}[/mm]
> [mm]a_0^2+a_0a_1x+a_0a_2x^2+a_1xa_0+(a_1x)^2+a_1xa_2x^2+a_2x^2a_0+a_2x^2a_1x+(a_2x^2)^2[/mm]
>
> Wenn ich nun aber in der Cauchy Formel n=2 einsetze, steht
> doch in er ersten Summe n=0, also 2=0 ? Hä, sorry Ana ist
> lange her, wahrscheinlich bin ich nur aus der Übung,
> kannst du mir da einmal aufschreiben, wie das aussieht,
> vielleicht hilft mir das für die weitere Berechnung der
> Aufgabe.
>
> DANKE
Gruss
MathePower
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