AWA nicht linearer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Do 28.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende AWA
y'(x) + [mm] \bruch{1}{2}xy(x)+\bruch{x}{2y(x)}=0 [/mm] , y(0)=1 |
Hallo zusammen,
hab folgende aufgabe bearbeitet und wollte mal nachfragen ob das bis hierhin richtig ist:
y'(x) + [mm] \bruch{1}{2}xy(x)+\bruch{x}{2y(x)}=0 [/mm] (*2y(x))
=> (y2)'+ [mm] xy^2(x)+x=0
[/mm]
setze [mm] z=y^2
[/mm]
z'+xz+x=0
z'=-xz-z
lösen d. homogenen problems:
z'=-xz
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = -xz
[mm] \bruch{dz}{z} [/mm] = -x dx
integrieren...
ln |z| = [mm] -\bruch{1}{2} x^2 [/mm] +c
=> z= [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2+c}
[/mm]
=> z= [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] * c
ableiten...
z'(x)= -x [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] * c + [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] * c'(x)
z und z' wieder in z'=-xz-x einsetzen
-x [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] * c + [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] * c'(x) = -x* [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] * c -x
=> [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] * c'(x) = -x
[mm] c'(x)=-x*e^{\bruch{1}{2}x^2}
[/mm]
und das müsste ich dann noch integrieren
stimmt das aber bis hierhin?
gruß,
peeetaaa
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Hallo peeetaaa,
> Lösen Sie folgende AWA
> y'(x) + [mm]\bruch{1}{2}xy(x)+\bruch{x}{2y(x)}=0[/mm] , y(0)=1
> Hallo zusammen,
>
> hab folgende aufgabe bearbeitet und wollte mal nachfragen
> ob das bis hierhin richtig ist:
>
> y'(x) + [mm]\bruch{1}{2}xy(x)+\bruch{x}{2y(x)}=0[/mm] (*2y(x))
> => (y2)'+ [mm]xy^2(x)+x=0[/mm]
> setze [mm]z=y^2[/mm]
>
> z'+xz+x=0
> z'=-xz-z
> lösen d. homogenen problems:
> z'=-xz
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = -xz
> [mm]\bruch{dz}{z}[/mm] = -x dx
> integrieren...
>
> ln |z| = [mm]-\bruch{1}{2} x^2[/mm] +c
> => z= [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2+c}[/mm]
> => z= [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm] * c
> ableiten...
> z'(x)= -x [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm] * c + [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm]
> * c'(x)
>
> z und z' wieder in z'=-xz-x einsetzen
> -x [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm] * c + [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm] * c'(x)
> = -x* [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm] * c -x
>
> => [mm]e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm] * c'(x) = -x
> [mm]c'(x)=-x*e^{\bruch{1}{2}x^2}[/mm]
>
> und das müsste ich dann noch integrieren
> stimmt das aber bis hierhin?
Ja, das stimmt bis hierhin. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> gruß,
> peeetaaa
>
Gruss
MathePower
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Hallo Peter,
> Lösen Sie folgende AWA
> y'(x) + [mm]\bruch{1}{2}xy(x)+\bruch{x}{2y(x)}=0[/mm] , y(0)=1
> Hallo zusammen,
>
> hab folgende aufgabe bearbeitet und wollte mal nachfragen
> ob das bis hierhin richtig ist:
>
> y'(x) + [mm]\bruch{1}{2}xy(x)+\bruch{x}{2y(x)}=0[/mm] (*2y(x))
> => (y2)'+ [mm]xy^2(x)+x=0[/mm]
> setze [mm]z=y^2[/mm]
>
> z'+xz+x=0
> z'=xz-z
Ich würde meinen, ab hier kannst du dir einiges an Arbeit ersparen.
Das Ding ist doch trennbar oder nicht?
$z'=z(x-1)$
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{z} [/mm] \ dz \ = \ (x-1) \ dx$ für [mm] $z\neq [/mm] 0$
usw.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 29.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ich muss gestehen, dass ich in einen tippfehler eingebaut habe und zwar bei
z'+xz+x=0
> z'=xz-z das muss ja heißen z'=xz-x also ist die dgl auch nicht trennbar!!
aber hab noch eine frage:
wie kriege ich denn [mm] c'(x)=-x\cdot{}e^{\bruch{1}{2}x^2} [/mm] jetzt am besten integriert?
muss ich hier partielle integration oder substitution anwenden?
gruß,
peeetaaa
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Hallo Peter,
> ich muss gestehen, dass ich in einen tippfehler eingebaut
> habe und zwar bei
> z'+xz+x=0
> > z'=xz-z das muss ja heißen z'=xz-x
???
Eher [mm]z'=\red{-}xz-x[/mm]
> also ist die dgl auch nicht trennbar!!
Wieso nicht? Klammere doch [mm]-x[/mm] aus ...
>
> aber hab noch eine frage:
> wie kriege ich denn [mm]c'(x)=-x\cdot{}e^{\bruch{1}{2}x^2}[/mm]
> jetzt am besten integriert?
> muss ich hier partielle integration oder substitution
> anwenden?
Substitution natürlich! Substituiere den fiesen Exponenten, [mm]z:=\frac{1}{2}x^2[/mm]
> gruß,
> peeetaaa
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Peon |
Kommt man dann auf letztendlich auf [mm] y=\wurzel{c*e^{\bruch{1}{2}*x^2}-1}
[/mm]
dann nur noch die AWA einsetzen.
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Hallo Peon,
> Kommt man dann auf letztendlich auf
> [mm]y=\wurzel{c*e^{\bruch{1}{2}*x^2}-1}[/mm]
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Richtig muss es lauten:
[mm]y=\wurzel{c*e^{\blue{-}\bruch{1}{2}*x^2}-1}[/mm]
> dann nur noch die AWA einsetzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Fr 29.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay hab das auch mal auf deine weise ausgerechnet und da kam ich aufs gleiche raus....
hab dann jetzt mal substitution angewand:
[mm] c'(x)=-x\cdot{}e^{\bruch{1}{2}x^2}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{-x\cdot{}e^{\bruch{1}{2}x^2 dx}}
[/mm]
u:= [mm] \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
u'= [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = x => dx= [mm] \bruch{du}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{-x\cdot{}e^u \bruch{du}{x}}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{-e^u du}
[/mm]
--> [mm] -e^u [/mm] +d
resubstitution:
[mm] -e^{\bruch{1}{2}x^2} [/mm] + d
hab ich das so richtig integriert?
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Hallo peeetaaa,
> okay hab das auch mal auf deine weise ausgerechnet und da
> kam ich aufs gleiche raus....
>
> hab dann jetzt mal substitution angewand:
>
> [mm]c'(x)=-x\cdot{}e^{\bruch{1}{2}x^2}[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}{-x\cdot{}e^{\bruch{1}{2}x^2 dx}}[/mm]
> u:=
> [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm]
> u'= [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = x => dx= [mm]\bruch{du}{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{-x\cdot{}e^u \bruch{du}{x}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{-e^u du}[/mm]
> --> [mm]-e^u[/mm] +d
>
> resubstitution:
> [mm]-e^{\bruch{1}{2}x^2}[/mm] + d
>
> hab ich das so richtig integriert?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 29.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
nachdem ich also integriert habe hab ich c(x)= [mm] -e^{\bruch{1}{2}x^2}+d [/mm]
in [mm] z=e^{\bruch{-1}{2}x^2} [/mm] * c eingesetzt und kam auf
z= [mm] -1+e^{\bruch{-1}{2}x^2}*d
[/mm]
dann in [mm] z=y^2 [/mm] eingesetzt und kam dann auf y= [mm] \wurzel{-1 +e^{-1]{2}x^2}*d} [/mm]
meine frage ist jetzt wo mein fehler ist, denn ich komme halt auf das [mm] -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] in der e-funktion während peon auf ein + [mm] bruch{1}{2}x^2 [/mm] kommt?
danke schonmal
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Hallo peeetaaa,
> nachdem ich also integriert habe hab ich c(x)=
> [mm]-e^{\bruch{1}{2}x^2}+d[/mm]
> in [mm]z=e^{\bruch{-1}{2}x^2}[/mm] * c eingesetzt und kam auf
> z= [mm]-1+e^{\bruch{-1}{2}x^2}*d[/mm]
>
> dann in [mm]z=y^2[/mm] eingesetzt und kam dann auf y= [mm]\wurzel{-1 +e^{-1]{2}x^2}*d}[/mm]
>
> meine frage ist jetzt wo mein fehler ist, denn ich komme
> halt auf das [mm]-\bruch{1}{2}x^2[/mm] in der e-funktion während
> peon auf ein + [mm]bruch{1}{2}x^2[/mm] kommt?
Deine Lösung ist richtig.
Peon hat da einen Vorzeichenfehler drin, den ich erst jetzt bemerkt habe.
>
> danke schonmal
Gruss
MathePower
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