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| Aufgabe | Man bestimme die Lösungen der DGL [mm] \bruch{d}{dt}x(t)=A_ix(t) [/mm] und löse das Anfangswertproblem [mm] \bruch{d}{dt}x(t)=A_ix(t), x(0)=b_i
[/mm]
für [mm] A_1=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }, b_1=\vektor{e \\ \bruch{1}{e}} [/mm] |
Ich bin flogendermaßen vorgegangen:
Da ja gilt: [mm] x(t)=Se^{{t-t_0}*D}*S^{-1}*\vektor{e \\ \bruch{1}{e}}
[/mm]
Ich bestimme also D, S und [mm] S^{-1}.
[/mm]
1. ich bestimme die EW die für A gleich 1 und 3 sind.
2. Daraus ergibt sich D : [mm] D=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3}
[/mm]
3. S und [mm] S^{-1} [/mm] bestimmen : [mm] S=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}, S^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}, [/mm]
Ist das bishin richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Sa 01.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Deine Matrix S stimmt nicht. Es müsste ja gelten [mm] S^{-1}*A*S=D [/mm] was bei Dir nicht stimmt. D.h. Du hast die Eigenvektoren der Matrix A nicht richtig berechnet.
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Wo ist mein Fehler?
[mm] V_{\lambda1}=Kern\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 2 }=Kern\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=span\vektor{ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] V_{\lambda2}=Kern\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 0 }=Kern\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=span\vektor{ 0 \\ 1 }
[/mm]
Daraus resultiert: [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 01.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Wo ist mein Fehler?
Hier. Du must [mm] Kern\pmat{ -2 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] bestimmen.
> [mm]V_{\lambda2}=Kern\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 0 }=Kern\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=span\vektor{ 0 \\ 1 }[/mm]
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[mm] V_{\lambda2}=Kern\pmat{ -2 & 2 \\ 0 & 0 }=Kern\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0 }=span\vektor{ 0 \\ 1 }
[/mm]
Dann wäre doch [mm] S=\pmat{-1&1\\0&0}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Sa 01.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm]V_{\lambda2}=Kern\pmat{ -2 & 2 \\ 0 & 0 }=Kern\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0 }=span\vektor{ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> Dann wäre doch [mm]S=\pmat{-1&1\\0&0}[/mm]
Versteh ich nicht, dann müsste ja gelten
[mm] \pmat{ -2 & 2 \\ 0 & 0 }*\vektor{ 0 \\ 1 }=\vektor{ 0 \\ 0 } [/mm] was aber nicht stimmt.
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