AWP 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Di 25.10.2011 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
[mm] y_{1}'' [/mm] = [mm] y_{2}'
[/mm]
[mm] y_{2}'' [/mm] = [mm] -y_{1}'
[/mm]
[mm] y_{3}'' [/mm] = 0
[mm] y_{1}(0) [/mm] = [mm] y_{2}(0) [/mm] = [mm] y_{3}(0) [/mm] = 0
[mm] y_{1}'(0) [/mm] = [mm] y_{3}'(0) [/mm] = 2
[mm] y_{2}'(0) [/mm] = 1 |
Bisher haben wir immer nur AWP 1. Ordnung berechnet, daher stehe ich hier leider ein bisschen auf dem Schlauch. Ich habe mir bereits die Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] notiert, aber ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
>
> [mm]y_{1}''[/mm] = [mm]y_{2}'[/mm]
> [mm]y_{2}''[/mm] = [mm]-y_{1}'[/mm]
> [mm]y_{3}''[/mm] = 0
>
> [mm]y_{1}(0)[/mm] = [mm]y_{2}(0)[/mm] = [mm]y_{3}(0)[/mm] = 0
>
> [mm]y_{1}'(0)[/mm] = [mm]y_{3}'(0)[/mm] = 2
> [mm]y_{2}'(0)[/mm] = 1
> Bisher haben wir immer nur AWP 1. Ordnung berechnet, daher
> stehe ich hier leider ein bisschen auf dem Schlauch. Ich
> habe mir bereits die Matrix A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> notiert, aber ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen soll.
Zunächst folgt aus [mm]y_{3}''[/mm] = 0 und den Anfangsbedingungen [mm] y_3(0)=0 [/mm] und [mm] y_3'(0)=2, [/mm] dass
[mm] y_3(x)=2x
[/mm]
ist.
Es verbleibt also noch dass System
[mm]y_{1}''[/mm] = [mm]y_{2}'[/mm]
[mm]y_{2}''[/mm] = [mm]-y_{1}'[/mm]
Setze [mm] z_j:=y_j' [/mm] (j=1,2), so bekommst Du ein System erster Ordnung und damit ein AWP 1. Ordnung [mm] (z_1(0)=0, z_2(0)=1)
[/mm]
FRED
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