AWP genau eine Lösung auf R < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige dass das AWP
$ x' = [mm] \frac{e^tx^3}{1+x^2} [/mm] + [mm] t\sin(x)$, [/mm] $x(0) = 1$
genau eine Lösung $x$ auf ganz [mm] $\mathbb{R} [/mm] besitzt. Schätzt $x(1)$ nach oben ab. |
Hallo
Muss ich die Lösung x konkret berechnen? weil da komm ich irgendwie nicht weit.
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Hallo,
> Zeige dass das AWP
> [mm]x' = \frac{e^tx^3}{1+x^2} + t\sin(x)[/mm], [mm]x(0) = 1[/mm]
> genau eine
> Lösung [mm]x[/mm] auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] besitzt. Schätzt [mm]x(1)[/mm]
> nach oben ab.
> Hallo
>
> Muss ich die Lösung x konkret berechnen?
Na, dann viel Spaß ...
> weil da komm ich
> irgendwie nicht weit.
Du kannst das ja mal bei Wolfram Alpha (Ode Solver) eintippen und lösen lassen - da kommt Driss raus ...
Es gibt doch Sätze aus deiner Vorlesung, die was zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen sagen.
Die solltest du dir ansehen und zu Rate ziehen ...
Gruß
schachuzipus
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Ja dann muesste ich ja zeigen dass die rechte Seite L-Stetig bzgl x ist.
Wenn ich x nicht konkret berechne, wie schätze ich dann x(1) nach oben ab?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:03 Do 19.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ja dann muesste ich ja zeigen dass die rechte Seite
> L-Stetig bzgl x ist.
Ja
>
> Wenn ich x nicht konkret berechne, wie schätze ich dann
> x(1) nach oben ab?
Nach dem Mittelwertsatz ist
[mm] $x(1)=x(0)+x'(\xi)$ [/mm] mit einem [mm] $\xi \in [/mm] (0,1)$
FRED
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> > Ja dann muesste ich ja zeigen dass die rechte Seite
> > L-Stetig bzgl x ist.
>
> Ja
Ok dass kann man ja mit der Ableitung der rechten Seite machen, denn diese ist stetig, also ist die rechte Seite lokal L-stetig.
Aber wie mache ich nun weiter?
Ich weiss nun zumindest noch dass es eine eindeutige maximale Lösung auf einem offenen Intervall $I := ]a,b[ $ gibt.
Muss ich nun zeigen dass $a = [mm] -\infty$ [/mm] und $b = [mm] \infty [/mm] $ ist?
Dann muesste ich also zeigen dass z.B. $b < [mm] \infty$ [/mm] nicht sein kann, denn wenn
$b < [mm] \infty [/mm] $ können 2 Fälle auftreten:
1) [mm] $\lim_{t\rightarrow b} [/mm] |x(t)| = [mm] \infty$ [/mm] oder
2) [mm] $\lim_{k\rightarrow b} (t_k, x(t_k)) [/mm] $ ex. und ist ein Randpunkt des Definitionsbereichs von f, der ist aber [mm] $\mathbb{R}^2, [/mm] also gibt es gar keinen Rand, dann würde es ja reichen dass 1) nicht sein kann, aber warum ist das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 19.11.2015 | | Autor: | Hias |
Du weist nun, dass du ein offenes Intervall um [mm] $x_0=x(0)=1$ [/mm] hast, in dem deine Lösung existiert und eindeutig ist. Also gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] >0$, so dass die Lösung auf [mm] $(1-\epsilon, 1+\epsilon)$ [/mm] existiert und eindeutig ist. Wähle nun [mm] $x_1=1+\espilon$ [/mm] als neuen Anfangswert. Da deine Funktion keine Singularitäten hat, ist die Funktion wieder lokal Lipschitz-stetig, also existiert wieder ein offenes Intervall auf dem die Lösung eindeutig ist und existiert. Das kannst du nun in beide Richtungen fortsetzen und eine Lösung für ganz [mm] $\IR$ [/mm] konstruieren.
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Ah das macht Sinn. Sowas hatten wir auch schonmql in einem Beweis gemacht.
Aber müsste es nicht das Intervall $ (-e,e) $ sein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 21.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Sa 28.11.2015 | | Autor: | Hias |
Stimmt, du hast recht. Habe versehentlich die 1 des Anfangswertes genommen und nicht die 0 von $x(0)$, aber du hast es ja verstanden ;)
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