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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - AWP, maximale Lösung
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AWP, maximale Lösung: Anfangswertproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Mo 20.10.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Bestimmen Sie die maximale Lösung des folgenden Anfangswertproblems:

$y [mm] '(x)=e^{y(x)}sin(x)$ [/mm]

$y(0)=0$

Hi,

ich hätte eine Frage zu diesem Anfangswertproblem.
Nämlich weiß ich nicht so recht was mit "maximaler Lösung" gemeint ist.

Die Differentialgleichung habe ich wie folgt gelöst:

$y'=e^ysin(x)$

[mm] $\frac{dy}{dx}=e^ysin(x)\Leftrightarrow e^{-y} [/mm] dy=sin(x)dx$

[mm] $\int e^{-y}\,dy=\int sin(x)\, [/mm] dx$

[mm] $=-e^{-y}+c_1=-cos(x)+c_2$ [/mm]

[mm] $c:=c_2-c_1$ [/mm]

[mm] $e^{-y}=cos(x)-c$ [/mm]

[mm] $-y=\ln(|cos(x)-c|)$ [/mm]

[mm] $y=-\ln(|cos(x)-c|)$ [/mm]

Mit y(0)=0 ist c=0

[mm] $y=-\ln(|cos(x)|)$ [/mm]

Wäre das so richtig?
Was hat es nun mit der maximalen Lösung auf sich?

Danke.

        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Mo 20.10.2014
Autor: andyv

Hallo,

> Bestimmen Sie die maximale Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems:
>  
> [mm]y '(x)=e^{y(x)}sin(x)[/mm]
>  
> [mm]y(0)=0[/mm]
>  Hi,
>  
> ich hätte eine Frage zu diesem Anfangswertproblem.
> Nämlich weiß ich nicht so recht was mit "maximaler
> Lösung" gemeint ist.
>  
> Die Differentialgleichung habe ich wie folgt gelöst:
>  
> [mm]y'=e^ysin(x)[/mm]
>  
> [mm]\frac{dy}{dx}=e^ysin(x)\Leftrightarrow e^{-y} dy=sin(x)dx[/mm]
>  
> [mm]\int e^{-y}\,dy=\int sin(x)\, dx[/mm]
>  
> [mm]=-e^{-y}+c_1=-cos(x)+c_2[/mm]
>  
> [mm]c:=c_2-c_1[/mm]
>  
> [mm]e^{-y}=cos(x)-c[/mm]
>  
> [mm]-y=\ln(|cos(x)-c|)[/mm]
>  
> [mm]y=-\ln(|cos(x)-c|)[/mm]
>  
> Mit y(0)=0 ist c=0
>  
> [mm]y=-\ln(|cos(x)|)[/mm]
>  
> Wäre das so richtig?

Ja

>  Was hat es nun mit der maximalen Lösung auf sich?

Eine maximale Lösung ist eine Lösung, die nicht auf einen größeren Definitionsbereich fortgesetzt werden kann.

>  
> Danke.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Mo 20.10.2014
Autor: YuSul

Dann ist meine Lösung also eine maximale Lösung?

Bezug
                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mo 20.10.2014
Autor: andyv

Dafür müsstest du uns mitteilen, wo du deine Lösung definieren möchtest.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 Mo 20.10.2014
Autor: YuSul

Auf den ganzen reellen Zahlen.
Da ich im Logarithmus den Betrag habe ist das möglich.
Wenn ich den Betrag weggelassen hätte wäre es keine maximale Lösung, da der Cosinus ja negativ werden kann und man das dann aus dem Definitionsbereich ausschließen müsste.

Bezug
                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Mo 20.10.2014
Autor: andyv

Allerdings gibt es [mm] $x\in \IR$ [/mm] mit [mm] $|\cos(x)|=0$, [/mm] d.h. es wäre dann keine Lösung der AWA.

Liebe Grüße

Bezug
                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 Mo 20.10.2014
Autor: YuSul

Oh, du hast recht.
Dann ohne die ganzzahligen Vielfache von [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm]

[mm] $y:\mathbb{R}\setminus\{k\cdot\frac{\pi}{2}\}\to\mathbb{R}$ [/mm]

mit [mm] $k\in\mathbb{Z}$[/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Mo 20.10.2014
Autor: andyv

Ok, wir nähern uns an.

1. Lösungen von AWA sind üblicherweise nur auf Intervallen definiert, nicht auf unzusammenhängenden Mengen.
2. Die Nullstellen von cos sind nicht ganzzahlige Vielfache von [mm] \pi/2$ [/mm]

Liebe Grüße

Bezug
                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:47 Mo 20.10.2014
Autor: YuSul

Ok, ich habe die Nullstellen des Cosinus noch einmal nachgeschlagen. Diese haben die Form

[mm] $\pi/2+2k\pi$ [/mm]

Dann würde ich die Lösung des AWP also auf diesem Intervall definieren:

[mm] $y:(\pi/2+2k\pi,\pi/2+2(k+1)\pi)\to\mathbb{R}$ [/mm]



Bezug
                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Mo 20.10.2014
Autor: andyv


> Ok, ich habe die Nullstellen des Cosinus noch einmal
> nachgeschlagen. Diese haben die Form
>  
> [mm]\pi/2+2k\pi[/mm]

Das sehe ich anders.

>
> Dann würde ich die Lösung des AWP also auf diesem
> Intervall definieren:
>  
> [mm]y:(\pi/2+2k\pi,\pi/2+2(k+1)\pi)\to\mathbb{R}[/mm]
>  
>  

Was ist k?

Liebe Grüße


Bezug
                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:55 Mo 20.10.2014
Autor: YuSul

[mm] $\frac{\pi}{2}+k\pi$ [/mm] ....

k ist eine ganze Zahl.
[mm] $k\in\mathbb{Z}$ [/mm]

Das hatte ich ja oben schon einmal geschrieben.

Also so:

[mm] y:(\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+(k+1)\pi)\to\mathbb{R} [/mm]



Bezug
                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Mo 20.10.2014
Autor: andyv

Dann gibt es also unendlich viele maximale Lösungen?
Das kann nicht sein.

k sollte schon eine ganz bestimmte ganze Zahl sein.

Liebe Grüße


Bezug
                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:06 Di 21.10.2014
Autor: YuSul

Ich verstehe nicht warum ich die Lösung der Differentialgleichung nun so einschränken soll.
Es macht für mich wenig Sinn die Funktion nur für beispielsweise k=0

[mm] $y:(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\to\mathbb{R}$ [/mm]

zu betrachten.
Ich könnte ja wahrscheinlich jeden beliebigen k-Wert nehmen.

Aber wir machen dies doch primär, weil wir keine Definitionslücken haben wollen, oder?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Di 21.10.2014
Autor: andyv

Jetzt hast du nur ein Problem, der Anfangswert 0 liegt nicht im Definitionsbereich, also ist das keine Lösung der AWA.

Du solltest dir also ein anderes k suchen.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:20 Di 21.10.2014
Autor: YuSul

Ah, ok.
Jetzt wird ein Schuh draus.

Dann nehme ich das Intervall

[mm] $(-\pi/2,\pi/2)$ [/mm]

Dann liegt y(0) im Intervall.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Di 21.10.2014
Autor: andyv

y(0) muss nicht im Intervall liegen, 0 schon - in diesem Fall dasselbe.

Dein Intervall stimmt aber jetzt.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                
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AWP, maximale Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:28 Di 21.10.2014
Autor: YuSul

Vielen Dank, ich denke das habe ich begriffen.


Bezug
                                                                                                                                        
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AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Mi 22.10.2014
Autor: YuSul

Ich hätte nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe nur diesmal mit dem Anfangswert

y(0)=1

Dann erhalte ich ja zwei Anfangswerte einmal

[mm] $c_1=\frac{e-1}{e}$ [/mm] und [mm] $c_2=\frac{1+e}{e}$ [/mm]

Dann würde ich das Intervall für [mm] $c_2$ [/mm] auf (-1,1) einschränken.
Und für [mm] $c_1$ [/mm] kein Intervall angeben, bzw. einfach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] weil es keine Probleme mit dem Definitionsbereich gibt.

Wäre das richtig?

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mi 22.10.2014
Autor: andyv

Wie kommst du auf [mm] $c_2$ [/mm] und auf (-1,1) als maximales Existenzintervall?

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Mi 22.10.2014
Autor: YuSul

Ups, ich sehe gerade, dass ich einen Schreibfehler habe. Die Aufgabenstellung sieht y(0)=-1 vor. Entschuldigung.

Jedenfalls muss ich dann ja folgende Gleichung lösen:

$-ln|1-c|=1$

$ln|1-c|=-1$

[mm] $|1-c|=e^{-1}$ [/mm]

Und nun benötige ich ja eine Fallunterscheidung:

[mm] $1-c=e^{-1}$ [/mm] und

[mm] $c-1=e^{-1}$ [/mm]

So erhalte ich

[mm] $c_1=\frac{e-1}{e}$ [/mm]

[mm] $c_2=\frac{e+1}{e}$ [/mm]

Wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Und nun müsste ich dies ja wieder einsetzen und gucken was der maximale Definitionsbereich ist.

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Mi 22.10.2014
Autor: andyv

Das stimmt nicht.

Es ist doch $ [mm] e^{-y}=cos(x)-c [/mm] $ , also c=1-e (beachte, dass [mm] $e^{-y}>0$, [/mm] also [mm] $\cos(x)-c>0$) [/mm]

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Mi 22.10.2014
Autor: YuSul

Ah, ok. Du würdest also einfach einen vorherigen Rechenschritt als Berechnungsgrundlage wählen.

Dann wäre $y=cos(x)-(1-e)$

Und dies wäre auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definiert.

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mi 22.10.2014
Autor: andyv

Es sollte [mm] $e^{-y}=cos(x)-(1-e) [/mm] $ lauten.

Das max. Existenzintervall ist [mm] $\IR$, [/mm] ja.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Mi 22.10.2014
Autor: YuSul

Aber soll ich nicht noch nach y umformen um es auch als "echte" Funktion angeben zu können?

Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Mi 22.10.2014
Autor: andyv

Doch, das solltest du machen.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Mi 22.10.2014
Autor: YuSul

Ok, dann ist

$y=-ln|cos(x)+e-1|$

Dann hätte ich noch eine letzte Frage, damit ich das nun endlich verstehe...

Wenn ich die Differentialgleichung

$y [mm] '(x)=y(x)^2$ [/mm]

löse mit $y(0)=a$

Dann erhalte ich

[mm] $y=-\frac{1}{x+c}$ [/mm]

Das musst du nicht überprüfen.
Mit dem Anfangswert erhalte ich

[mm] $a=-\frac{1}{c}\Leftrightarrow c=-\frac1a$ [/mm]

Als Lösung dann

[mm] $y=\frac{1}{x-\frac{1}{a}}=-\frac{a}{ax-1}$ [/mm]

mit [mm] $x\neq\frac1a$ [/mm]

Dann wäre die maximale Lösung auf dem Intervall

[mm] $\mathbb{R}\setminus\{\frac{1}{a}\}$ [/mm] definiert.

Man untersucht also lediglich die Differentialgleichung, bestimmt dann die Konstante mithilfe des Anfangswertes und nimmt dann alle Werte raus die nicht zum Definitionsbereich gehören.

Was ich nun wieder nicht unbedingt verstehe:

Wieso haben wir bei der ersten Aufgabe nur ein kleines Intervall betrachtet und nicht einfach die Nullstellen der Funktion rausgenommen?

Bezug
                                                                                                                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Mi 22.10.2014
Autor: andyv


> Ok, dann ist
>
> [mm]y=-ln|cos(x)+e-1|[/mm]
>  
> Dann hätte ich noch eine letzte Frage, damit ich das nun
> endlich verstehe...
>  
> Wenn ich die Differentialgleichung
>
> [mm]y '(x)=y(x)^2[/mm]
>  
> löse mit [mm]y(0)=a[/mm]
>  
> Dann erhalte ich
>  
> [mm]y=-\frac{1}{x+c}[/mm]
>  
> Das musst du nicht überprüfen.
>  Mit dem Anfangswert erhalte ich
>  
> [mm]a=-\frac{1}{c}\Leftrightarrow c=-\frac1a[/mm]

Und a=0?

>  
> Als Lösung dann
>  
> [mm]y=\frac{1}{x-\frac{1}{a}}=-\frac{a}{ax-1}[/mm]

Vorzeichenfehler!
  

> mit [mm]x\neq\frac1a[/mm]
>  
> Dann wäre die maximale Lösung auf dem Intervall
>  
> [mm]\mathbb{R}\setminus\{\frac{1}{a}\}[/mm] definiert.

Das ist kein Intervall.

>  
> Man untersucht also lediglich die Differentialgleichung,
> bestimmt dann die Konstante mithilfe des Anfangswertes und
> nimmt dann alle Werte raus die nicht zum Definitionsbereich
> gehören.
>  
> Was ich nun wieder nicht unbedingt verstehe:
>  
> Wieso haben wir bei der ersten Aufgabe nur ein kleines
> Intervall betrachtet und nicht einfach die Nullstellen der
> Funktion rausgenommen?

Lies dir am besten die Definition der maximalen Lösung durch, dann wird das klar.

Liebe Grüße


Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:28 Mi 22.10.2014
Autor: YuSul

Das Problem ist, dass wir "maximale Lösung" nie definiert haben.
Das Thema "Differentialgleichungen" kam letztes Semester nur sehr kurz vorm Ende dran.



Bezug
                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:54 Mi 22.10.2014
Autor: andyv

Das ist schlecht.

Jedenfalls werden (maximale) Lösungen von ODEs auf Intervallen definiert, siehe z.B. "Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems" von Teschl.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Do 23.10.2014
Autor: YuSul

Kann ich dann das Intervall $(1/a, [mm] \infty)$ [/mm] betrachten?
Für [mm] $a\neq [/mm] 0$

Oder ist hier vielleicht sogar eine Fallunterscheidung notwendig? Je nachdem ob der Anfangswert im Intervall liegt oder nicht?

Dann müsste man das Intervall [mm] $(-\infty, \frac1a)$ [/mm] betrachten.

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
AWP, maximale Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Do 23.10.2014
Autor: andyv


> Kann ich dann das Intervall [mm](1/a, \infty)[/mm] betrachten?
>  Für [mm]a\neq 0[/mm]
>  
> Oder ist hier vielleicht sogar eine Fallunterscheidung
> notwendig? Je nachdem ob der Anfangswert im Intervall liegt
> oder nicht?

So ist es. Betrachte die Fälle a>0, a<0 (und a=0)

>  
> Dann müsste man das Intervall [mm](-\infty, \frac1a)[/mm]
> betrachten.

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
AWP, maximale Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:43 Do 23.10.2014
Autor: YuSul

Toll, vielen Dank.

Dann habe ich das nun hoffentlich verstanden.

Liebe Grüße zurück.

Bezug
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