AWP, maximale Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die maximale Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
$y [mm] '(x)=e^{y(x)}sin(x)$
[/mm]
$y(0)=0$ |
Hi,
ich hätte eine Frage zu diesem Anfangswertproblem.
Nämlich weiß ich nicht so recht was mit "maximaler Lösung" gemeint ist.
Die Differentialgleichung habe ich wie folgt gelöst:
$y'=e^ysin(x)$
[mm] $\frac{dy}{dx}=e^ysin(x)\Leftrightarrow e^{-y} [/mm] dy=sin(x)dx$
[mm] $\int e^{-y}\,dy=\int sin(x)\, [/mm] dx$
[mm] $=-e^{-y}+c_1=-cos(x)+c_2$
[/mm]
[mm] $c:=c_2-c_1$
[/mm]
[mm] $e^{-y}=cos(x)-c$
[/mm]
[mm] $-y=\ln(|cos(x)-c|)$
[/mm]
[mm] $y=-\ln(|cos(x)-c|)$
[/mm]
Mit y(0)=0 ist c=0
[mm] $y=-\ln(|cos(x)|)$
[/mm]
Wäre das so richtig?
Was hat es nun mit der maximalen Lösung auf sich?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Bestimmen Sie die maximale Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems:
>
> [mm]y '(x)=e^{y(x)}sin(x)[/mm]
>
> [mm]y(0)=0[/mm]
> Hi,
>
> ich hätte eine Frage zu diesem Anfangswertproblem.
> Nämlich weiß ich nicht so recht was mit "maximaler
> Lösung" gemeint ist.
>
> Die Differentialgleichung habe ich wie folgt gelöst:
>
> [mm]y'=e^ysin(x)[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{dx}=e^ysin(x)\Leftrightarrow e^{-y} dy=sin(x)dx[/mm]
>
> [mm]\int e^{-y}\,dy=\int sin(x)\, dx[/mm]
>
> [mm]=-e^{-y}+c_1=-cos(x)+c_2[/mm]
>
> [mm]c:=c_2-c_1[/mm]
>
> [mm]e^{-y}=cos(x)-c[/mm]
>
> [mm]-y=\ln(|cos(x)-c|)[/mm]
>
> [mm]y=-\ln(|cos(x)-c|)[/mm]
>
> Mit y(0)=0 ist c=0
>
> [mm]y=-\ln(|cos(x)|)[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
Ja
> Was hat es nun mit der maximalen Lösung auf sich?
Eine maximale Lösung ist eine Lösung, die nicht auf einen größeren Definitionsbereich fortgesetzt werden kann.
>
> Danke.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann ist meine Lösung also eine maximale Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Dafür müsstest du uns mitteilen, wo du deine Lösung definieren möchtest.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Auf den ganzen reellen Zahlen.
Da ich im Logarithmus den Betrag habe ist das möglich.
Wenn ich den Betrag weggelassen hätte wäre es keine maximale Lösung, da der Cosinus ja negativ werden kann und man das dann aus dem Definitionsbereich ausschließen müsste.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Allerdings gibt es [mm] $x\in \IR$ [/mm] mit [mm] $|\cos(x)|=0$, [/mm] d.h. es wäre dann keine Lösung der AWA.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Oh, du hast recht.
Dann ohne die ganzzahligen Vielfache von [mm] $\frac{\pi}{2}$
[/mm]
[mm] $y:\mathbb{R}\setminus\{k\cdot\frac{\pi}{2}\}\to\mathbb{R}$
[/mm]
mit [mm] $k\in\mathbb{Z}$[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Ok, wir nähern uns an.
1. Lösungen von AWA sind üblicherweise nur auf Intervallen definiert, nicht auf unzusammenhängenden Mengen.
2. Die Nullstellen von cos sind nicht ganzzahlige Vielfache von [mm] \pi/2$
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, ich habe die Nullstellen des Cosinus noch einmal nachgeschlagen. Diese haben die Form
[mm] $\pi/2+2k\pi$ [/mm]
Dann würde ich die Lösung des AWP also auf diesem Intervall definieren:
[mm] $y:(\pi/2+2k\pi,\pi/2+2(k+1)\pi)\to\mathbb{R}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Ok, ich habe die Nullstellen des Cosinus noch einmal
> nachgeschlagen. Diese haben die Form
>
> [mm]\pi/2+2k\pi[/mm]
Das sehe ich anders.
>
> Dann würde ich die Lösung des AWP also auf diesem
> Intervall definieren:
>
> [mm]y:(\pi/2+2k\pi,\pi/2+2(k+1)\pi)\to\mathbb{R}[/mm]
>
>
Was ist k?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $\frac{\pi}{2}+k\pi$ [/mm] ....
k ist eine ganze Zahl.
[mm] $k\in\mathbb{Z}$
[/mm]
Das hatte ich ja oben schon einmal geschrieben.
Also so:
[mm] y:(\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+(k+1)\pi)\to\mathbb{R}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Dann gibt es also unendlich viele maximale Lösungen?
Das kann nicht sein.
k sollte schon eine ganz bestimmte ganze Zahl sein.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Di 21.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich verstehe nicht warum ich die Lösung der Differentialgleichung nun so einschränken soll.
Es macht für mich wenig Sinn die Funktion nur für beispielsweise k=0
[mm] $y:(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\to\mathbb{R}$
[/mm]
zu betrachten.
Ich könnte ja wahrscheinlich jeden beliebigen k-Wert nehmen.
Aber wir machen dies doch primär, weil wir keine Definitionslücken haben wollen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Di 21.10.2014 | | Autor: | andyv |
Jetzt hast du nur ein Problem, der Anfangswert 0 liegt nicht im Definitionsbereich, also ist das keine Lösung der AWA.
Du solltest dir also ein anderes k suchen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Di 21.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, ok.
Jetzt wird ein Schuh draus.
Dann nehme ich das Intervall
[mm] $(-\pi/2,\pi/2)$
[/mm]
Dann liegt y(0) im Intervall.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 21.10.2014 | | Autor: | andyv |
y(0) muss nicht im Intervall liegen, 0 schon - in diesem Fall dasselbe.
Dein Intervall stimmt aber jetzt.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Di 21.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank, ich denke das habe ich begriffen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hätte nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe nur diesmal mit dem Anfangswert
y(0)=1
Dann erhalte ich ja zwei Anfangswerte einmal
[mm] $c_1=\frac{e-1}{e}$ [/mm] und [mm] $c_2=\frac{1+e}{e}$
[/mm]
Dann würde ich das Intervall für [mm] $c_2$ [/mm] auf (-1,1) einschränken.
Und für [mm] $c_1$ [/mm] kein Intervall angeben, bzw. einfach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] weil es keine Probleme mit dem Definitionsbereich gibt.
Wäre das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Wie kommst du auf [mm] $c_2$ [/mm] und auf (-1,1) als maximales Existenzintervall?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ups, ich sehe gerade, dass ich einen Schreibfehler habe. Die Aufgabenstellung sieht y(0)=-1 vor. Entschuldigung.
Jedenfalls muss ich dann ja folgende Gleichung lösen:
$-ln|1-c|=1$
$ln|1-c|=-1$
[mm] $|1-c|=e^{-1}$
[/mm]
Und nun benötige ich ja eine Fallunterscheidung:
[mm] $1-c=e^{-1}$ [/mm] und
[mm] $c-1=e^{-1}$
[/mm]
So erhalte ich
[mm] $c_1=\frac{e-1}{e}$
[/mm]
[mm] $c_2=\frac{e+1}{e}$
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Und nun müsste ich dies ja wieder einsetzen und gucken was der maximale Definitionsbereich ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das stimmt nicht.
Es ist doch $ [mm] e^{-y}=cos(x)-c [/mm] $ , also c=1-e (beachte, dass [mm] $e^{-y}>0$, [/mm] also [mm] $\cos(x)-c>0$)
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, ok. Du würdest also einfach einen vorherigen Rechenschritt als Berechnungsgrundlage wählen.
Dann wäre $y=cos(x)-(1-e)$
Und dies wäre auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Es sollte [mm] $e^{-y}=cos(x)-(1-e) [/mm] $ lauten.
Das max. Existenzintervall ist [mm] $\IR$, [/mm] ja.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Aber soll ich nicht noch nach y umformen um es auch als "echte" Funktion angeben zu können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Doch, das solltest du machen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, dann ist
$y=-ln|cos(x)+e-1|$
Dann hätte ich noch eine letzte Frage, damit ich das nun endlich verstehe...
Wenn ich die Differentialgleichung
$y [mm] '(x)=y(x)^2$
[/mm]
löse mit $y(0)=a$
Dann erhalte ich
[mm] $y=-\frac{1}{x+c}$
[/mm]
Das musst du nicht überprüfen.
Mit dem Anfangswert erhalte ich
[mm] $a=-\frac{1}{c}\Leftrightarrow c=-\frac1a$
[/mm]
Als Lösung dann
[mm] $y=\frac{1}{x-\frac{1}{a}}=-\frac{a}{ax-1}$
[/mm]
mit [mm] $x\neq\frac1a$
[/mm]
Dann wäre die maximale Lösung auf dem Intervall
[mm] $\mathbb{R}\setminus\{\frac{1}{a}\}$ [/mm] definiert.
Man untersucht also lediglich die Differentialgleichung, bestimmt dann die Konstante mithilfe des Anfangswertes und nimmt dann alle Werte raus die nicht zum Definitionsbereich gehören.
Was ich nun wieder nicht unbedingt verstehe:
Wieso haben wir bei der ersten Aufgabe nur ein kleines Intervall betrachtet und nicht einfach die Nullstellen der Funktion rausgenommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Ok, dann ist
>
> [mm]y=-ln|cos(x)+e-1|[/mm]
>
> Dann hätte ich noch eine letzte Frage, damit ich das nun
> endlich verstehe...
>
> Wenn ich die Differentialgleichung
>
> [mm]y '(x)=y(x)^2[/mm]
>
> löse mit [mm]y(0)=a[/mm]
>
> Dann erhalte ich
>
> [mm]y=-\frac{1}{x+c}[/mm]
>
> Das musst du nicht überprüfen.
> Mit dem Anfangswert erhalte ich
>
> [mm]a=-\frac{1}{c}\Leftrightarrow c=-\frac1a[/mm]
Und a=0?
>
> Als Lösung dann
>
> [mm]y=\frac{1}{x-\frac{1}{a}}=-\frac{a}{ax-1}[/mm]
Vorzeichenfehler!
> mit [mm]x\neq\frac1a[/mm]
>
> Dann wäre die maximale Lösung auf dem Intervall
>
> [mm]\mathbb{R}\setminus\{\frac{1}{a}\}[/mm] definiert.
Das ist kein Intervall.
>
> Man untersucht also lediglich die Differentialgleichung,
> bestimmt dann die Konstante mithilfe des Anfangswertes und
> nimmt dann alle Werte raus die nicht zum Definitionsbereich
> gehören.
>
> Was ich nun wieder nicht unbedingt verstehe:
>
> Wieso haben wir bei der ersten Aufgabe nur ein kleines
> Intervall betrachtet und nicht einfach die Nullstellen der
> Funktion rausgenommen?
Lies dir am besten die Definition der maximalen Lösung durch, dann wird das klar.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Das Problem ist, dass wir "maximale Lösung" nie definiert haben.
Das Thema "Differentialgleichungen" kam letztes Semester nur sehr kurz vorm Ende dran.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das ist schlecht.
Jedenfalls werden (maximale) Lösungen von ODEs auf Intervallen definiert, siehe z.B. "Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems" von Teschl.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 23.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann ich dann das Intervall $(1/a, [mm] \infty)$ [/mm] betrachten?
Für [mm] $a\neq [/mm] 0$
Oder ist hier vielleicht sogar eine Fallunterscheidung notwendig? Je nachdem ob der Anfangswert im Intervall liegt oder nicht?
Dann müsste man das Intervall [mm] $(-\infty, \frac1a)$ [/mm] betrachten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Do 23.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Kann ich dann das Intervall [mm](1/a, \infty)[/mm] betrachten?
> Für [mm]a\neq 0[/mm]
>
> Oder ist hier vielleicht sogar eine Fallunterscheidung
> notwendig? Je nachdem ob der Anfangswert im Intervall liegt
> oder nicht?
So ist es. Betrachte die Fälle a>0, a<0 (und a=0)
>
> Dann müsste man das Intervall [mm](-\infty, \frac1a)[/mm]
> betrachten.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 23.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Toll, vielen Dank.
Dann habe ich das nun hoffentlich verstanden.
Liebe Grüße zurück.
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