AWP mit Laplace-Trafo lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 07.01.2009 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | Lösen Sie das AWP,
$ [mm] y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5} [/mm] $
mittels Laplacetransformation. |
Hey Leute,
habe so angefangen:
=> (L anwenden) $ [mm] L[y''+9y]=L[\cos(2t) [/mm] $
=>(L linear) $ [mm] L[y'']+9L[y]=\frac{s}{s^2+4} [/mm] $ mittels Tabelle
nach anwenden des Ableitungssatzes und der Substitution z=L[y] komme ich auf:
$ [mm] z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)} [/mm] $
stimmt das bis hier?
jetzt Partialbruchzerlegung ?
lg crash
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 07.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hey,
oder kann ich das so weiter vereinfachen:
[mm] $z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{12s^2}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{5s}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5(s^2+4)(s^2+9)} [/mm] $
[mm] $=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{(s^2+4)(s^2+9)} [/mm] $
[mm] $=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{s}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9} [/mm] $
Nun würde ich eine Tabelle nehmen und die Laplacetransformierten hinschreiben. Kann man das auch so machen ? :)
Danke lg crash
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mi 07.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey,
>
> oder kann ich das so weiter vereinfachen:
>
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{12s^2}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{5s}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{s}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}[/mm]
>
> Nun würde ich eine Tabelle nehmen und die
> Laplacetransformierten hinschreiben. Kann man das auch so
> machen ? :)
Klar, wenn du in deiner Tabelle die Laplacetransformationen findest. Partialbruchzerlegung ist viel einfacher.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo crashby,
> Lösen Sie das AWP,
>
> [mm]y''+9y=\cos(2t),y'(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
Das muss doch bestimmt so heißen:
[mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
Oder so:
[mm]y''+9y=\cos(2t),y'(0)=1,y(0)=\frac{12}{5}[/mm]
>
> mittels Laplacetransformation.
> Hey Leute,
>
> habe so angefangen:
>
> => (L anwenden) [mm]L[y''+9y]=L[\cos(2t)[/mm]
>
> =>(L linear) [mm]L[y'']+9L[y]=\frac{s}{s^2+4}[/mm] mittels Tabelle
>
> nach anwenden des Ableitungssatzes und der Substitution
> z=L[y] komme ich auf:
>
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>
> stimmt das bis hier?
>
> jetzt Partialbruchzerlegung ?
>
> lg crash
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Mi 07.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie das AWP,
>
> [mm]y''+9y=\cos(2t),y'(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
>
> mittels Laplacetransformation.
> Hey Leute,
>
> habe so angefangen:
>
> => (L anwenden) [mm]L[y''+9y]=L[\cos(2t)[/mm]
>
> =>(L linear) [mm]L[y'']+9L[y]=\frac{s}{s^2+4}[/mm] mittels Tabelle
>
> nach anwenden des Ableitungssatzes und der Substitution
> z=L[y] komme ich auf:
>
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>
> stimmt das bis hier?
Nein, der Zähler stimmt nicht (in beiden Interpretationen der Anfagnsbedingungen).
>
> jetzt Partialbruchzerlegung ?
Ja.
Zur Kontrolle: Mit der klassischen Lösungsmethode des Anstarrens sieht man, dass die DGL die homogene Lösung [mm] $A\sin(3t)+B\cos(3t)$ [/mm] hat und die inhomogene proportional zu [mm] $\cos(2t)$ [/mm] ist 
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mi 07.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hallo,
> Zur Kontrolle: Mit der klassischen Lösungsmethode des
> Anstarrens sieht man, dass die DGL die homogene Lösung
> [mm]A\sin(3t)+B\cos(3t)[/mm] hat und die inhomogene proportional zu
> [mm]\cos(2t)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist
>
> Viele Grüße
> Rainer
ne leider net da ich das lösen soll einmal auf direktem Weg mit Laplace-Trafo und indem ich zunäcsht das AWP in ein System 1.ord umwandle und dann auch wieder LT anwende ;)
Danke für die Hilfe aber bei PBZ scheiter ich irgendwie ,weil ich glaube ich den falschen Ansatz mache.
$z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{1}{5}\cdot \frac{12s^2+5s+48}{(s^2+4)(s^2+9) $
Nun PBZ $\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i} $
ist das so ok ?
schön abend noch
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Hallo crashby,
> Hallo,
>
> > Zur Kontrolle: Mit der klassischen Lösungsmethode des
> > Anstarrens sieht man, dass die DGL die homogene Lösung
> > [mm]A\sin(3t)+B\cos(3t)[/mm] hat und die inhomogene proportional zu
> > [mm]\cos(2t)[/mm] ist
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> ne leider net da ich das lösen soll einmal auf direktem Weg
> mit Laplace-Trafo und indem ich zunäcsht das AWP in ein
> System 1.ord umwandle und dann auch wieder LT anwende ;)
>
> Danke für die Hilfe aber bei PBZ scheiter ich irgendwie
> ,weil ich glaube ich den falschen Ansatz mache.
>
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{1}{5}\cdot \frac{12s^2+5s+48}{(s^2+4)(s^2+9)[/mm]
Rainer hat angemerkt, daß Dein z nicht stimmt.
Außerdem, müssen da noch die Anfangsbedingungen geklärt werden.
Ist [mm]y\left(0) \not= 0[/mm] so ist der Zähler von z auf jeden Fall
ein Polynom dritten Grades.
>
> Nun PBZ [mm]\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i}[/mm]
>
> ist das so ok ?
Wenn Dein z stimmt, dann kannst Du so ansetzen:
[mm]z=\bruch{As+B}{s^{2}+4}+\bruch{Cs+D}{s^{2}+9}[/mm]
>
> schön abend noch
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Mi 07.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hey, hatte mich bei Anfangsbedingungen vertan
richtig ist:
$ [mm] y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5} [/mm] $
Nun gut bevor mein z was ja L[y] ist nicht stimmt brauch ich ja nicht weiter machen oder ist es jetzt mit der korrigierten Fassung ok ? :)
Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Do 08.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo crashby,
> Hey, hatte mich bei Anfangsbedingungen vertan
> richtig ist:
>
> [mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
>
> Nun gut bevor mein z was ja L[y] ist nicht stimmt brauch
> ich ja nicht weiter machen oder ist es jetzt mit der
> korrigierten Fassung ok ? :)
Nein, das z mußt Du neu ausrechnen.
>
> Vielen Dank
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Do 08.01.2009 | | Autor: | crashby |
Guten Abend,
ich glaube mir ist ein ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") .
> > [mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
Dann fangen wir mal an:
[mm] $L[y''+9y](s)=L[\cos(2t)](s) [/mm] $
=> (L linear) $ L[y''](s)+9L[y](s)= [mm] \frac{2}{s^2+4} [/mm] $ (aus Tabelle)
=> (Ableitungssatz):
$ [mm] L[y''](s)=s^2\cdot Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)=s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5} [/mm] $
=> $ [mm] s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5}+9Y(s)=\frac{s}{s^2+4} [/mm] $
<=> $ [mm] s^2\cdot Y(s)+9Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s}{s^2+4} [/mm] $
dann addiere ich $ s $ und [mm] $-\frac{12}{5} [/mm] $ auf die andere Seite. Nach ein bissel rumrechnen komme ich auf:
$ [mm] Y(s)=\frac{s^3+5s+12}{s^2+9} [/mm] $
stimmt es jetzt ;) ?
greetz
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Hallo crashby,
> Guten Abend,
>
> ich glaube mir ist ein .
>
>
>
> > > [mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
>
> Dann fangen wir mal an:
>
> [mm]L[y''+9y](s)=L[\cos(2t)](s)[/mm]
>
> => (L linear) [mm]L[y''](s)+9L[y](s)= \frac{2}{s^2+4}[/mm] (aus
> Tabelle)
> => (Ableitungssatz):
>
> [mm]L[y''](s)=s^2\cdot Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)=s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5}[/mm]
>
> => [mm]s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5}+9Y(s)=\frac{s}{s^2+4}[/mm]
> <=>
> [mm]s^2\cdot Y(s)+9Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s}{s^2+4}[/mm]
[mm]s^2\cdot Y(s)+9Y(s)\red{-s}-\frac{12}{5}=\frac{s}{s^2+4}[/mm]
>
> dann addiere ich [mm]s[/mm] und [mm]-\frac{12}{5}[/mm] auf die andere Seite.
Hier mußt Du [mm]\bruch{12}{5}[/mm] addieren.
> Nach ein bissel rumrechnen komme ich auf:
>
> [mm]Y(s)=\frac{s^3+5s+12}{s^2+9}[/mm]
>
> stimmt es jetzt ;) ?
Das stimmt nicht ganz:
[mm]Y(s)=\frac{s^3+\red{\mu s^{2}}+5s+\red{12}}{\left(s^2+9\right)\red{\left(s^{2}+4\right)}}[/mm]
Es fehlt ein quadratischer Anteil [mm]\mu \not= 0[/mm],
und der konstante Anteil stimmt auch nicht.
>
> greetz
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Do 08.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hi MathePower :)
ich schreib mal alles auf vielleicht hab ich mich bei ner umformung vertan.
$ [mm] (s^2+9)Y(s)-s-\frac{12}{5}=\frac{2s}{s^2+4} [/mm] $
nun erstmal +s
=> $ [mm] (s^2+9)Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s^3+5s}{s^2+4} [/mm] $
nun +12/5
=> $ [mm] (s^2+9)Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)} [/mm] $
=>$ [mm] Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)(s^2+
9)} [/mm] $
oh ich glaub ich hab aus einer summer gekürzt ;)
$ [mm] Y(s)=\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{12}{5}\frac{1}{s^2+9} [/mm] $
nun sollte es stimmen.
lg
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Hallo crashby,
> Hi MathePower :)
>
> ich schreib mal alles auf vielleicht hab ich mich bei ner
> umformung vertan.
>
> [mm](s^2+9)Y(s)-s-\frac{12}{5}=\frac{2s}{s^2+4}[/mm]
>
> nun erstmal +s
>
> => [mm](s^2+9)Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s^3+5s}{s^2+4}[/mm]
>
> nun +12/5
>
> => [mm](s^2+9)Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)}[/mm]
>
> =>$ [mm]Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)(s^2+
9)}[/mm] $
>
> oh ich glaub ich hab aus einer summer gekürzt ;)
>
> [mm]Y(s)=\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{12}{5}\frac{1}{s^2+9}[/mm]
>
> nun sollte es stimmen.
So stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 11.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hi, mache grad weiter
PBZ:
$ [mm] \frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i} [/mm] $ oder?
der KV ist ja nicht schön...gibs noch nen anderen WEG ?
thx cya
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Hallo crashby,
> Hi, mache grad weiter
>
> PBZ:
>
> [mm]\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i}[/mm]
> oder?
>
> der KV ist ja nicht schön...gibs noch nen anderen WEG ?
Dieser Weg ist der übliche:
[mm]\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{Fs+G}{s^{2}+9}[/mm]
>
> thx cya
Gruß
MathePower
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