A von In- u.Umkreis im Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein gleichschnekliges Dreieck ABC. Man ermittle das Verhältnis der Flächeninhalte von Inkreis und Umkreis dieses Dreiecks.
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Findet ihr möglicherweise einen passenden Rechenansatz?
Ich habe viel mit gleichen Winkeln versucht, bin aber noch zu keinem richtigen Ergebnis gekommen.
Kann man diese Idee mit den gleichen Winkeln weiterführen oder ist ein ganz neuer Rechenansatz besser?
(Mit gleichen Winkeln meine ich die Teildreiecke innerhalb des gegebenen Dreiecks.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC. Man ermittle
> das Verhältnis der Flächeninhalte von Inkreis und Umkreis
> dieses Dreiecks.
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> Findet ihr möglicherweise einen passenden Rechenansatz?
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> Ich habe viel mit gleichen Winkeln versucht, bin aber noch
> zu keinem richtigen Ergebnis gekommen.
> Kann man diese Idee mit den gleichen Winkeln weiterführen
> oder ist ein ganz neuer Rechenansatz besser?
>
> (Mit gleichen Winkeln meine ich die Teildreiecke innerhalb
> des gegebenen Dreiecks.)
Ich denke, dass du da mit elementarer Trigonometrie
einiges bewerkstelligen kannst. Mach dir zuerst eine
gute (nicht zu kleine) Zeichnung und führe Bezeichnungen
ein: z.B. a für die Schenkellänge, c für die Basis, [mm] \alpha [/mm] für
die Winkel an der Basis, [mm] \gamma [/mm] für den Winkel an der Spitze,
r für den Umkreisradius, [mm] \rho [/mm] für den Inkreisradius. Bezeichne
auch die wesentlichen Punkte (Ecken, Seitenmittelpunkte,
Kreismittelpunkte).
Natürlich musst du dir klar machen, wie man die Mittel-
punkte von Inkreis und Umkreis genau konstruiert und
welche rechtwinkligen Dreiecke dabei auch eine Rolle
spielen.
Dann kannst du eine ganze Serie von Beziehungen
aufstellen wie z.B.
[mm] tan\left(\bruch{\alpha}{2}\right)=\bruch{2\rho}{c}
[/mm]
[mm] cos\left(\bruch{\gamma}{2}\right)= [/mm] .......
Das sollte dich ein Stück weiter führen.
LG
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Vielen Dank erst einmal!
Ich habe das zwar noch nicht behandelt, aber darüber kann man wohl noch viel erfahren.
:)
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Ich habe das für den Fall, dass das gelichschneklige Dreieck gleichseitig ist, bereits eine Lösung gefunden.
Kann man daraus einen Zusammenhang sehen?
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> Ich habe das für den Fall, dass das gelichschneklige
gleichschenklige
> Dreieck gleichseitig ist, bereits eine Lösung gefunden.
In diesem Fall ist das Verhältnis der Flächeninhalte
gleich 1:q , wobei q die kleinste positive gerade
Quadratzahl ist, oder ... 
War die Aufgabe denn wirklich für das beliebige gleich-
schenklige Dreieck gestellt und nicht einfach für den
(einfachen) Fall des gleichseitigen Dreiecks ?
Falls du das Verhältnis der Kreisinhalte wirklich am
gleichschenkligen Dreieck berechnen musst oder willst
und ohne Trigonometrie auskommen musst, dann
kann man dem schon auch mit anderen Mitteln bei-
kommen (Ähnlichkeit und Pythagoras), aber es gibt
doch einiges zu überlegen und zu rechnen.
Ich komme dabei z.B. auf das folgende Ergebnis:
[mm] \bruch{F_{Inkreis}}{F_{Umkreis}}=\left(\bruch{(2a-c)*c}{2a^2}\right)^2 [/mm]
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