Abb. R nach R, abzählbar? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 25.06.2006 | | Autor: | tempo |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine surjektive Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach X:={f|f: [mm] \IR \to \IR [/mm] } gibt! |
hallo an alle,
habe eine kurze frage zu der aufgabe: ich will das mit einem wiederspruchsbeweis zeigen, also nehme ich an das es eine surjektive abb. gibt! meine frage ist ob ich nun daraus annhemen kann das dann [mm] \IR [/mm] abzählbar sein müsste und ich "nur noch" zeigen müsste das dies nicht stimmt (wiederspruch!).
den wiederspruch würde ich hinbekommen, aber wir haben aufgeschrieben das D abzählbar ist wenn es eine surjekt. abb. f: [mm] \IN \to [/mm] D gibt. gilt dies auch für [mm] \IR \to \IR [/mm] oder nur für [mm] \IN \to [/mm] D ???
habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
.mfg.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Nein, so geht das nicht.
Folgende Aufgabe ist sehr ähnlich: es sei $M$ eine Menge und [mm] ${\cal P}(M)$ [/mm] ihre Potenzmenge. Man zeige, dass es keine surjektive Abbildung von $M$ in [mm] ${\cal P}(M)$ [/mm] gibt.
Man nimmt auch hier an, dass eine solche Abbildung, nennen wir sie $f$, existierte. Dann betrachte man die Menge $A$ der [mm] $x\in [/mm] M$ mit [mm] $x\notin [/mm] f(x)$ (beachte, dass $f(x)$ eine Teilmenge von $M$ ist, die Definition also Sinn macht). Da $f$ surjektiv ist, muss nun ein $x$ mit $f(x)=A$ existieren. Nehmen wir nun an, es sei [mm] $x\in [/mm] f(x)=A$. Dann wäre nach Definition von $A$ aber [mm] $x\notin [/mm] f(x)=A$, Widerspruch. Gilt andererseits [mm] $x\notin [/mm] f(x)=A$, so folgt abermals nach Definition von $A$, dass [mm] $x\in [/mm] A$ gilt - Widerspruch. Folglich muss die Annahme, dass eine surjektive Abbildung $f$ existierte, falsch gewesen sein.
Der entscheidende Trick bei dieser wie bei deiner Aufgabe ist der Selbstbezug. In obigem Beispiel wurde angenommen, dass eine surjektive Abbildung existierte, und durch sie eine Menge konstruiert, die im Widerspruch zur Surjektivität von $f$ nicht Bild von $f$ sein konnte.
Genau so geht es auch hier. Nehmen wir an, dass [mm] $f:\IR\to [/mm] X$ eine surjektive Abbildung sei. Wir wollen nun versuchen, daraus eine Abbildung [mm] $g:\IR\to\IR$ [/mm] zu konstruieren, die nicht im Bild von $f$ liegen kann (womit der Widerspruch erbracht wäre). Eine Idee wäre, ein [mm] $x\in \IR$ [/mm] auf einen Bildwert seiner eigenen Bildfunktion [mm] $f(x):\IR\to \IR$ [/mm] abzubilden. Eine Möglichkeit wäre also die Vorschrift $g(x):=(f(x))(x)$. Nun muss auf Grund der Surjektivität von $f$ ein [mm] $x_0\in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=g$ [/mm] existieren. Führt das zu einem Widerspruch? Durch Einsetzen von [mm] $x_0$ [/mm] in [mm] $f(x_0)$ [/mm] leider noch nicht, denn dann erhalten wir nur die Gleichung [mm] $(f(x_0))(x_0)=g(x_0)$, [/mm] welche nach Definition von $g$ richtig ist. Wir sehen aber, dass sich der Term auf der linken Seite nicht ändert; eine Chance bestünde also darin, $g$ so als Funktion von [mm] $(f(x_0))(x_0)$ [/mm] zu wählen, dass [mm] $(f(x_0))(x_0)=g(x_0)$ [/mm] keine reelle Lösung in [mm] $(f(x_0))(x_0)$ [/mm] besitzt. Siehst du dort eine?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 25.06.2006 | | Autor: | tempo |
hi, danke erstmal für die antwort.
ich glaube ich weiß jetzt wohin das führt... ist aber etwas "verzwickt" das zu erklären/aufzuschreiben. ich bilde mir eine menge M:={x [mm] \in \IR [/mm] : x [mm] \not\in [/mm] f(x) } ("entstpricht" deinem g) M ist also Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und mit der voraussetzung das f surjektiv ist gibt es ein x [mm] \in \IR [/mm] mit M=f(x). wäre jetzt x [mm] \in [/mm] M=f(x) dann ist x [mm] \not\in [/mm] M (nach def. von M). wäre aber x [mm] \not\in [/mm] M dann ist (ebenfalls nach def. von M) x [mm] \in [/mm] M ; also beides nicht möglich und damit gibt es keine surjektive abbildung! ich weiß das klingt etwas verwirrend, müsste aber passen, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Nein, das bezieht sich ja jetzt nicht auf die dir gegebene Aufgabe. Dort sind die Bilder von $f$ ja keine Mengen. Ich habe die Aufgabe nur als ähnliches Beispiel gestellt, dass man durch einen Widerspruchsbeweis lösen kann.
Ich schrieb im Anschluss ja auch, wie man ähnliches für deine Aufgabe machen könnte. Hast du dir das angesehen?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 25.06.2006 | | Autor: | tempo |
hi, ja ich habe deinen beitrag durchgelesen (keine sorge kein einziger tastendruck ist/war umsonst!)
aber mit folgendem habe ich probleme:
>...
> nicht, denn dann erhalten wir nur die Gleichung
> [mm](f(x_0))(x_0)=g(x_0)[/mm], welche nach Definition von [mm]g[/mm] richtig
> ist. Wir sehen aber, dass sich der Term auf der linken
> Seite nicht ändert; eine Chance bestünde also darin, [mm]g[/mm] so
> als Funktion von [mm](f(x_0))(x_0)[/mm] zu wählen, dass
> [mm](f(x_0))(x_0)=g(x_0)[/mm] keine reelle Lösung in [mm](f(x_0))(x_0)[/mm]
> besitzt. Siehst du dort eine?
sorry verstehe/sehe aber nicht was "...sich der Term auf der linken Seite nicht ändert" mit surjektiv bzw. der lösung der aufgabe zu tun hat deshalb bin ich mit mengen an "...konstruieren, die nicht im Bild von f liegen kann..." drangegangen.
wäre daher für jeden weiteren tipp (der mich von den mengen "weglockt") sehr dankbar
mfg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 25.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Entschuldige, ich verschrieb mich 1x. $g$ soll eine Funktion von $(f(x))(x)$ sein, nicht von [mm] $(f(x_0))(x_0)$. [/mm] Soviel zu meinem kleinen Verschreiber.
Die Idee ist, wie gesagt, aus $f$ eine Funktion [mm] $g:\IR\to\IR$ [/mm] zu konstruieren, die nicht im Bild von $f$ liegen kann. Ich schlug zuerst die Vorschrift $g(x)=(f(x))(x)$ (d.h. $g(x)$ entspricht dem Bild von $x$ unter der Abbildung $f(x)$), aber, wie wir sofort einsahen, bringt das nichts. Allerdings könnte man ja auch beispielsweise [mm] $g(x)=(f(x))(x)^2$ [/mm] wählen. Würde das etwas bringen? Nun, wie zuvor muss, wenn $f$ surjektiv ist, ein [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=g$ [/mm] existieren. Dann gilt [mm] $(f(x_0))(x_0)=g(x_0)=(f(x_0))(x_0)^2$. [/mm] Was folgt daraus? Es folgte, dass [mm] $x_0$ [/mm] Nullstelle von [mm] $f(x_0)$ [/mm] sein muss. Das ist aber noch kein Widerspruch. Meine Frage war nun, wie man $g(x)$ nun anders als Funktion (als Polynom?) von $(f(x))(x)$ definieren könnte, sodass die Gleichung $(f(x))(x)=g(x)$ keine Lösung mehr besitzt?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
