Abb. zw metrischen Räumen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Seien X und Y metrische Räume, f: [mm] X\rightarrow [/mm] Y eine stetige Abbildung, [mm] c\in [/mm] Y und
[mm] M:=\{x\in X | f(x)=c}.
[/mm]
Zeigen Sie: M ist abgeschlossen. |
Könnte mir hier jmd vllt einen Ansatz geben?
Ich muss ja zeigen, dass Punkte aus M existieren so, dass man keine [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung drumherumlegen kann die nur Punkte aus M enthält, resp., dass der Rand von M in M liegt resp., dass keine Folge aus Elementen aus M existiert die einen GW außerhalb von M hat.
Aber ich finde auf keine Art einen Ansatz :-[
Evtl ja auch damit, dass M das Urbild von Y unter f ist?
Wenn mir hier jmd auf die Sprünge helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 21.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Seien X und Y metrische Räume, f: [mm]X\rightarrow[/mm] Y eine
> stetige Abbildung, [mm]c\in[/mm] Y und
> [mm]M:=\{x\in X | f(x)=c}.[/mm]
> Zeigen Sie: M ist abgeschlossen.
> Könnte mir hier jmd vllt einen Ansatz geben?
>
> Ich muss ja zeigen, dass Punkte aus M existieren so, dass
> man keine [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Umgebung drumherumlegen kann die nur
> Punkte aus M enthält, resp., dass der Rand von M in M liegt
> resp., dass keine Folge aus Elementen aus M existiert die
> einen GW außerhalb von M hat.
>
> Aber ich finde auf keine Art einen Ansatz :-[
>
> Evtl ja auch damit, dass M das Urbild von Y unter f ist?
beachte, dass $M$ nicht das urbild von $Y$ unter $f$ ist, es ist also im allgemeinen $f^{-1}(Y) \not= M$, sondern dass $M$ von $c$ abhängt. du wählst zuerst ein festes $c \in Y$ und betrachtest dann alle elemente aus $X$, welche auf $c$ abgebildet werden. in der sprache von urbildern ist also $M = f^{-1}(\{c\})$. kennst du aussagen über urbilder abgeschlossener mengen unter stetigen abbildungen? ist $\{c\}$ etwa abgeschlossen?
wenn du soetwas noch nicht kennst, nimm etwa ein konvergente folge aus $M$, also $(x_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset M$. was kannst du für $x := \lim_{k \to \infty x_k$ über das bild $f(x)$ unter $f$ aussagen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
okay das mit dem Urbild ist mir dann auch gedämmert.
Dann ist eigentlich klar, dass das Urbild einer abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist unter einer stetigen Fkt.
Aber angenommen ich wüsste das nicht:
D.h. ich wähle mir eine Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] aus M mit GW x. D.h. [mm] f(x_n)=c \forall n\in\IN.
[/mm]
Aber was kann ich jetzt über den GW aussagen?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 21.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> okay das mit dem Urbild ist mir dann auch gedämmert.
> Dann ist eigentlich klar, dass das Urbild einer
> abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist unter einer
> stetigen Fkt.
ob das klar ist, ist eine andere frage. habt ihr das bewiesen? ansonsten müsstest du das auch noch beweisen.
> Aber angenommen ich wüsste das nicht:
> D.h. ich wähle mir eine Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] aus M mit GW
> x. D.h. [mm]f(x_n)=c \forall n\in\IN.[/mm]
> Aber was kann ich jetzt
> über den GW aussagen?
was weißt du denn über die vertauschbarkeit von grenzwerten mit stetigen funktionen? was kann man dann aus $f(x) = f [mm] \left( \lim_{k \to \infty} x_k \right) [/mm] = ...$ machen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Jap das hatten wir mal in der Vorlesung bewiesen.
Bei einer stetigen Fkt kann ich aus
f(x) = f [mm] \left( \lim_{k \to \infty} x_k \right) [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty} f(x_k)
[/mm]
ahhhh okay
da [mm] f(x_k) [/mm] = c [mm] \forall k\in\IN [/mm] gilt, dass [mm] \lim_{k \to \infty} f(x_k) [/mm] = [mm] \lim_{k \to \infty} [/mm] c = c und damit wäre der GW auf jedenfall in M ... oder?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 21.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Bei einer stetigen Fkt kann ich aus
> f(x) = f [mm]\left( \lim_{k \to \infty} x_k \right)[/mm] = [mm]\lim_{k \to \infty} f(x_k)[/mm]
>
> ahhhh okay
>
> da [mm]f(x_k)[/mm] = c [mm]\forall k\in\IN[/mm] gilt, dass [mm]\lim_{k \to \infty} f(x_k)[/mm]
> = [mm]\lim_{k \to \infty}[/mm] c = c und damit wäre der GW auf
> jedenfall in M ... oder?
genau.
grüße
andreas
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