Abb(f) bilden Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | | Sei V ein [mm] \IK [/mm] Vektorraum, A eine nicht leere Menge. Betrachte W= { Abbildungen: f: A [mm] \to [/mm] V } Weise nach dass dies ein VR ist |
Hallo!
Für die Addition gilt wenn f,g : A [mm] \to [/mm] V Abbildungen sind dann setze:
f+g: A [mm] \to [/mm] V , x [mm] \mapsto [/mm] f(x)+g(x)
Für die skalare Multiplikation: Sei [mm] \lambda \in \IK [/mm] und f [mm] \in [/mm] V dann gilt:
[mm] \lambda [/mm] f: A [mm] \to [/mm] V , x [mm] \mapsto \lambda [/mm] f(x)
1. V ist zusammen mit der add. eine abelsche gruppe:
1.1 Assosziativität: Seine f,g,h [mm] \in [/mm] W gegeben dann gilt:
(f+(g+h))(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)=((f+g)+h)(x)
1.2 Neutrales Element: Sei f [mm] \in [/mm] W und [mm] \vec{0} \in [/mm] W gegeben dann gilt:
(f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)
1.3 Additive Inverse Sei f [mm] \in [/mm] W und -f [mm] \in [/mm] W gegeben:
[mm] (f+(-f))(x)=(f-f)(x)=0(x)=\vec{0}
[/mm]
1.4 Kommutativität:
Seien f,g [mm] \in [/mm] W
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)
Geht das so? Weil wenn ich mir die Definition der Abbildungen ins gedächtnis rufe dann müsste ich mir ja ein v [mm] \in [/mm] V herausnehmen aus dem Vektorraum der Abbildungen und dass damit beweisen, oder sehe ich das falsch?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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> Sei V ein [mm]\IK[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vektorraum, A eine nicht leere Menge.
> Betrachte W= { Abbildungen: f: A [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V } Weise nach dass
> dies ein VR ist
> Hallo!
>
> Für die Addition gilt wenn f,g : A [mm]\to[/mm] V Abbildungen sind
> dann setze:
> f+g: A [mm]\to[/mm] V , x [mm]\mapsto[/mm] f(x)+g(x)
> Für die skalare Multiplikation: Sei [mm]\lambda \in \IK[/mm] und f
> [mm]\in[/mm] V dann gilt:
> [mm]\lambda[/mm] f: A [mm]\to[/mm] V , x [mm]\mapsto \lambda[/mm] f(x)
>
> 1. V ist zusammen mit der add. eine abelsche gruppe:
> 1.1 Assosziativität: Seine f,g,h [mm]\in[/mm] W gegeben dann gilt:
>
> (f+(g+h))(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)=((f+g)+h)(x)
> 1.2 Neutrales Element: Sei f [mm]\in[/mm] W und [mm]\vec{0} \in[/mm] W
> gegeben dann gilt:
> (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)
> 1.3 Additive Inverse Sei f [mm]\in[/mm] W und -f [mm]\in[/mm] W gegeben:
> [mm](f+(-f))(x)=(f-f)(x)=0(x)=\vec{0}[/mm]
> 1.4 Kommutativität:
> Seien f,g [mm]\in[/mm] W
> (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)
>
> Geht das so?
Hallo,
im Prinzip (dazu später mehr) ist es richtig, was Du planst: Du mußt für W die Vektorraumeigenschaften nachweisen, die "abelsche Gruppe bzgl + ist ja erst der Anfang - ich denke, daß Dir das klar ist.
> Weil wenn ich mir die Definition der
> Abbildungen ins gedächtnis rufe dann müsste ich mir ja ein
> v [mm]\in[/mm] V herausnehmen aus dem Vektorraum der Abbildungen und
> dass damit beweisen, oder sehe ich das falsch?
Nein, Du siehst das richtig. Hier mußt Du Dir natürlich Elemente aus dem VR W hernehmen, also Funktionen, die von A nach V abbilden.
Allerdings ist Deine Durchführung etwas - tja, wie soll ich sagen? Am besten sage ich nichts, sondern ich zeige Dir, was ich meine:
> 1.1 Assosziativität: Seine f,g,h [mm]\in[/mm] W gegeben dann gilt:
>
> (f+(g+h))(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)=((f+g)+h)(x)
Ich würde das wie folgt gelöst haben wollen:
1.1 Assoziativität: Seien f,g,h [mm]\in[/mm] W.
Zu zeigen: f+(g+h)=(f+g)+h, [Denn es ist hier ja etwas über Funktionen zu zeigen]
dh. für alle [mm] x\in [/mm] A gilt (f+(g+h))(x)=((f+g)+h)(x) (Gleichheit von Funktionen)
Bew. Sei [mm] x\in [/mm] A.
Es ist (f+(g+h))(x)=f(x)+(g+h)(x) nach Def. der Addition v. Funktionen
=f(x)+(g(x)+h(x)) nach Def. der Addition v. Funktionen
=(f(x)+g(x))+h(x) denn V ist ein Vektorraum
=(f+g)(x)+h(x) nach Def. der Addition v. Funktionen
=((f+g)+h)(x) nach Def. der Addition v. Funktionen ,
also ist f+(g+h)=(f+g)+h nach Def. der Gleichheit v. Funktionen.
(Wahrscheinlich findest Du das ganz blöd und meinst, daß Du genau das getan hast. Wenn Du Mathe für Mathematiker hörst, mußt Du es aber so machen.)
> 1.2 Neutrales Element: Sei f [mm]\in[/mm] W und [mm]\vec{0} \in[/mm] W
> gegeben
Nein. Schau mal in den Axiomen für abelsche Gruppe nach. Da ist kein neutrales Element gegeben, sondern es ist zu zeigen daß es eines gibt.
Du mußt hier also eine gewisse Funktion aus W hernehmen und dann zeigen, daß diese das neutrale Element bzgl. + ist.
> 1.3 Additive Inverse Sei f [mm]\in[/mm] W und -f [mm]\in[/mm] W gegeben:
> [mm](f+(-f))(x)=(f-f)(x)=0(x)=\vec{0}[/mm]
Nein. -f ist nicht gegeben, sondern Du mußt zeigen, daß es zu jedem [mm] f\in [/mm] W solch ein -f gibt.
Zieh es aus dem Hut ( Sei -f: [mm] A\to [/mm] V mit (-f)(x):=-f(x)), und zeige, daß es das Inverse v. f ist.
Für die Kommutativität gilt ähnliches wie das, was ich zur Assoziativität gesagt habe.
Gruß v. Angela
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