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hallo!!Ich habe eine kleine frage an euch:
Gesucht ist die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Standardbasen von
[mm] R^{4} [/mm] und R²!!
f: [mm] R^{4} [/mm] ----> R² Gegeben habe ich ein paar Abbildungswerte:
f(3,2,1,1)=(2,1)
f(1,1,1,0)=(1,3)
f(2,1,0,0)=(2,4)
f(1,0,0,0)=(0,0)
Ich muss doch aus den gegebenen Abbildungen eine allgemeine Abbildung herausfinden,denn ohne Abbildung kann ich doch keine Abbildungsmatrix bestimmen,oder??
MFG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Es sei [mm] ${\cal B}_4$ [/mm] die Basis [mm] $\{(3,2,1,1)^T,(1,1,1,0)^T, (2,1,0,0)^T,(1,0,0,0)^T\}$ [/mm] des [mm] $\IR^4$ [/mm] sowie [mm] ${\cal E}_4$ [/mm] bzw. [mm] ${\cal E}_2$ [/mm] die Standarbasen des [mm] $\ÎR^4$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Bezeichnet allgemein für eine Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ für Basen [mm] ${\cal A}$ [/mm] von $V$ und [mm] ${\cal B}$ [/mm] von $W$ die Koordinatenmatrix der Abbildung $f$ bezüglich der Bases [mm] ${\cal A}$ [/mm] und [mm] ${\cal B}$ [/mm] mit [mm] $M_{{\cal B}}^{{\cal A}}(f)$ [/mm] (d.h. in [mm] $M_{{\cal B}}^{{\cal A}}(f)$ [/mm] stehen die Koordinaten der Bilder der Basis [mm] ${\cal A}$ [/mm] bezüglich der Basis [mm] ${\cal B}$), [/mm] dann haben wir hier nach Voraussetzung:
[mm] $M_{{\cal E}_2}^{{\cal B}_4}(f) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Nun gilt die folgende Transformationsregel:
[mm] $M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_4}(f) [/mm] = [mm] M_{{\cal E}_2}^{{\cal B}_4}(f) \cdot T_{{\cal B}_4}^{{\cal E}_4}$,
[/mm]
wobei
[mm] $T_{{\cal B}_4}^{{\cal E}_4} [/mm] = [mm] M_{{\cal B}_4}^{{\cal E}_4}(id_{\IR^4})$
[/mm]
die Transformationsmatrix ist. Diese ist nicht einfach zu berechnen, denn ich müsste ja die Standardbasis [mm] ${\cal E}_4$ [/mm] bezüglich der "neuen" Basis [mm] ${\cal B}_4$ [/mm] darstellen. Umgekehrt ist es leichter, denn die Basis [mm] ${\cal B}_4$ [/mm] steht ja schon bereits bezüglich der Standardbasis [mm] ${\cal E}_4$ [/mm] da!! 
Zum Glück gilt die folgende Beziehung:
[mm] $T_{{\cal E}_4}^{{\cal B}_4} [/mm] = [mm] \left( T_{{\cal B}_4}^{{\cal E}_4} \right)^{-1} [/mm] = [mm] \left( M_{{\cal B}_4}^{{\cal E}_4}(id_{\IR^4})\right)^{-1}$.
[/mm]
Was musst du also tun?
Ganz einfach, folgendes berechnen:
[mm] $M_{{\cal E}_2}^{{\cal E}_4}(f)$
[/mm]
$= [mm] M_{{\cal E}_2}^{{\cal B}_4} \cdot T_{{\cal B}_4}^{{\cal E}_4}$
[/mm]
$= [mm] M_{{\cal E}_2}^{{\cal B}_4} \cdot \left( T_{{\cal E}_4}^{{\cal B}_4} \right)^{-1}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^{-1}$.
[/mm]
Viel Spaß dabei!
Liebe Grüße
Stefan
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