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Hallo zusammen, ich sitze über einem Übungsblatt das ich morgen zum benoten abgeben muss. Hab gerade angefangen LA Gym Ma/Ph zu sudieren, und ich hänge an den ganz einfachen sachen.
Zur Aufgabe:
Ich soll zeigen, daß die Abbildung f: [mm] \IZ² \to \IZ² [/mm] (x,y) [mm] \mapsto(2x+3y, [/mm] 3x+4y) bijektiv ist, und die Umkehrfkt. bestimmen.
Wenn eine Abbildung eine Umkehrfunktion hat ist sie doch in jemdem Fall bijektiv, oder?
Ich habe also versucht die Umkehrfkt g gesucht und das wie folgt ausgeschrieben:
[mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{2x+3y \\ 3x+4y} \mapsto \vektor{x \\ y}
[/mm]
Der zwite Pfeil ist die Umkehrfkt g.
Ich erhalte ein Gleichungssystem
2x+3y=x
3x+4y=y
das es zu lösen gilt. Die Lösung ist x=-1 und y=1.
Soweit bin ich. Aber ich sehe nicht was die Lösung von meiner Aufabe ist. Soll ich aus dem GS eine Fkt x in Abhängigkeit von y angeben? Die Lösung kann nicht mehr soo weit sein, aber ich sehe gerade vor einem Zahlenblock und erkenne keine Lösung. Es wäre otal toll wenn mir einer einen Tip geben würden!
Danke!
//Sara
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Di 01.11.2005 | | Autor: | Phi85 |
Hallo Sara.
Ich find das lustig, denn ich bin wohl in der selben Vorlesung wie du. Ich kam bisher allerding auch noch nicht auf die Umkehrfunktion. Aber man kann auch ohne Umkehrfunktion beweisen, dass die Funktion bijektiv ist. Man muss nur zeigen, dass die in- und surjektiv ist. Und das Injektiv ist schnell gezeigt, da aus f(x1, y1) = f(x2, y2) ein (x1,y1) = (x2, y2) folgen muss. Das mit dem Surjektiv ist etwas schwerer und da bin ich mir auch nicht sicher, ob ich es ganz so richtig habe. Aber die Umkehrfunktion bereitet mir hier auch Kopfzerbrechen, vor allem weil man ja gar nicht weiß, die man bei einer Umkehrfunktion mit zwei Variablen anfangen soll. Aber von einer fehlenden Umkehrfunktion geht die Welt nicht unter und die Hausaufgabe auch nicht 
Philipp
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Di 01.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo ihr Zwei
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich soll zeigen, daß die Abbildung f: [mm]\IZ² \to \IZ²[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto(2x+3y,[/mm] 3x+4y) bijektiv ist, und die
> Umkehrfkt. bestimmen.
>
> Wenn eine Abbildung eine Umkehrfunktion hat ist sie doch in
> jemdem Fall bijektiv, oder?
ja, aber das muss bewiesen werden (oder wurde in der Vorlesung bewiesen)
> Ich habe also versucht die Umkehrfkt g gesucht und das wie
> folgt ausgeschrieben:
>
> [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{2x+3y \\ 3x+4y} \mapsto \vektor{x \\ y}[/mm]
es ist besser die Variablen im Bildraum mit anderen Namen zu versehen. deshalb schreib ich :
f: [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{x' \\ y'} mit x'=2x+3; y'=3x+4[/mm]
und gesucht ist g: [mm]\vektor{x' \\ y'} \mapsto \vektor{x \\ y} [/mm]
und wenn man es so ansieht, ist die Umkehrfkt leicht zu finden ,zur Kontrolle:
g: [mm]\vektor{x' \\ y'} \mapsto \vektor{-4x'+3y' \\ 3x'-2y'} [/mm]
> Ich erhalte ein Gleichungssystem
> 2x+3y=x
> 3x+4y=y
> das es zu lösen gilt. Die Lösung ist x=-1 und y=1.
Was du hier gefunden hättest , wäre der Vektor, der auf sich selbst abgebildet wird: (ein sog. Eigenvektor)
aber die Lösung ist falsch! (setz in die erste Gleichung ein. die einzige Lösung ist x=0 y=0! und wirklich : [mm]\vektor{0 \\ 0} \mapsto \vektor{0 \\ 0} [/mm] . das sieht man eigentlich direkt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 01.11.2005 | | Autor: | Phi85 |
Hallo leduart.
>die einzige Lösung ist x=0 y=0<
Danke für deine Antwort, allerdings ist bei der Aufgabe gefordert, dass man zeigt, dass diese Funktion bijektiv ist und dann soll man die Umkehrfunktion bestimmten. Aber wie geht das mit dr Umkehrfunktion?
Was ist davon die Umkehrfunktion?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Frage wurde ja mittlerweile beantwortet...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Di 01.11.2005 | | Autor: | kampfsocke |
Super! Für diese Aufgabe ist der Knoten geplatzt. Vielen Dank für deine Schnelle Hilfe.
Liebe Grüße,
Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Di 01.11.2005 | | Autor: | Phi85 |
Hallo leduart,
oh. habe bemerkt, dass dort ja doch die Antwort steht, beim ersten Aufrufen gab es einen Darstellungsfehler bei meinem Browser.
Kannst du mir eigentlich erklären, wie du da auf die Umkehrfunktion gekommen bist? Das kann ich grad nicht nachvollziehen.
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Um die Umkehrfkt entgültig zu bestimmen musst du das GS
2x+3y=x'
3x+4y=y'
lösen.
Erst schreibst du die gleichungen so um das nur noch x in Abhängigkeit von x' und y' steht, und dann nur y in Abhängigkeit von x' und y'. das ist das Ergebnis.
Viele Grüße,
//Sara
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