Abbildung,Dimension und Norm < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 13.02.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Abbildung
f,g : [0, [mm] \bruch{\pi}{2}] \to \IR [/mm] mit [mm] f_{(x)}= sin_{(x)} [/mm] und [mm] g_{(x)}= cos_{(x)} [/mm]
reelle Vektorraum
V = span (f,g) = [mm] {\alpha f + \beta g | \alpha ,\beta \in \IR}
[/mm]
a) Welche Dimension hat V ?
b) Zeige dass die Abbildung [mm] ||\circ||: [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] mit
||f|| := max [mm] {|f_{(x)}| | x \in [0, \bruch{\pi}{2}]}
[/mm]
eine Norm in V ist. |
Wie sehe ich, welche Dimension V hat?
Wie setzte ich die Definition um ?
Hoffe jemand kann mir das erklären...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 So 13.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Hat denn niemand eine Idee?
Es ist echt wichtig :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 13.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, ein wenig mehr Eigeninitiative wäre wünschenswert, dann kannst du vielleicht auch schneller mit Antworten rechnen.
> Abbildung
> f,g : [0, [mm]\bruch{\pi}{2}] \to \IR[/mm] mit [mm]f_{(x)}= sin_{(x)}[/mm]
> und [mm]g_{(x)}= cos_{(x)}[/mm]
>
> reelle Vektorraum
> V = span (f,g) = [mm]{\alpha f + \beta g | \alpha ,\beta \in \IR}[/mm]
>
> a) Welche Dimension hat V ?
Der Vektorraum wird ja von zwei Vektoren, nämlich f und g, aufgespannt, hat also maximal Dimension 2. Da f und g beide nicht die Nullfunktion sind, ist V auch nicht der Nullraum, also ist die Dimension [mm] $\geq [/mm] 1$. Nun musst du herausfinden, ob es in V zwei linear unabhängige Elemente gibt, d.h. ob f und g linear unabhängig sind. Falls ja, hat der Vektorraum Dimension 1, falls nicht Dimension 2.
>
> b) Zeige dass die Abbildung [mm]||\circ||:[/mm] V [mm]\to \IR[/mm] mit
> ||f|| := max [mm]{|f_{(x)}| | x \in [0, \bruch{\pi}{2}]}[/mm]
>
> eine Norm in V ist.
Was sind denn die definierenden Eigenschaften einer Norm? Hast du die mal nachgeschlagen, das solltest du als erstes tun. Wenn du dann beim zeigen einer der Eigenschaften nicht weiter kommst, kannst du ja nochmal fragen.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 13.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Vielen Dank erst einmal.
Wie prüfe ich nun nach, ob sie abhängig oder unabhängig sind?
Ich müsste ja eigl ein Gl-System austellen.
aber wie mache ich das mit f ung g
vielleicht so:
[mm] \alpha [/mm] sin+ [mm] \beta [/mm] cos
und zu b)
die Eigenschaften wären 1.Homogenität, 2.Definitheit und 3. [mm] \DeltaUngleichung
[/mm]
[mm] 1.||\lambda [/mm] x|| = [mm] |\lambda| [/mm] * |x|
| [mm] \lambda [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] = | [mm] \lambda [/mm] | * |[0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] |
wäre dies in Ordnung ?
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Hallo,
> Vielen Dank erst einmal.
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> Wie prüfe ich nun nach, ob sie abhängig oder unabhängig
> sind?
> Ich müsste ja eigl ein Gl-System austellen.
>
> aber wie mache ich das mit f ung g
> vielleicht so:
> [mm]\alpha[/mm] [mm] sin\red{(x)}+[/mm] [mm]\beta[/mm] [mm] cos\red{(x)} =\red{0}
[/mm]
Setze mal für x geeignete Werte ein und du wirst sehen, dass sich für deine Skalare [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] Abhängigkeiten ergeben.
>
>
> und zu b)
>
> die Eigenschaften wären 1.Homogenität, 2.Definitheit und
> 3. [mm]\DeltaUngleichung[/mm]
>
> [mm]1.||\lambda[/mm] x|| = [mm]|\lambda|[/mm] * |x|
> | [mm]\lambda[/mm] [0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] = | [mm]\lambda[/mm] | * |[0, [mm]\bruch{\pi}{2}][/mm] |
Das letzte lässt sich bei dir leider nur sehr schlecht lesen.
Hier sind die Eigenschaften, die es zu überprüfen gilt
1. [mm] \|x\| [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0, [mm] $\| x\|\geq [/mm] 0$ (pos. Definitheit);
2. [mm] \|\alpha\cdot x\| [/mm] = [mm] |\alpha|\cdot\|x\| [/mm] (absolute Homogenität);
3. [mm] \|x [/mm] + [mm] y\| \leq \|x\| [/mm] + [mm] \|y\| [/mm] (die Dreiecksungleichung).
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 13.02.2011 | | Autor: | Balsam |
>
> Setze mal für x geeignete Werte ein und du wirst sehen,
> dass sich für deine Skalare [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> Abhängigkeiten ergeben.
Ich habe jetzt
sin 0 = 0
und cos 0 = 1
also sind sie abhängig. dies bedeutet dassV die dimension 2 hat.
> >
> >
> Hier sind die Eigenschaften, die es zu überprüfen gilt
> 1. [mm]\|x\|[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = 0, [mm]\| x\|\geq 0[/mm] (pos.
> Definitheit);
> 2. [mm]\|\alpha\cdot x\|[/mm] = [mm]|\alpha|\cdot\|x\|[/mm] (absolute
> Homogenität);
> 3. [mm]\|x[/mm] + [mm]y\| \leq \|x\|[/mm] + [mm]\|y\|[/mm] (die
> Dreiecksungleichung).
>
> Gruß
was setze ich denn für x und [mm] \alpha [/mm] ein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 So 13.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Hat denn keiner eine Idee?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 So 13.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
x und y setzt du 2 vektoren aus dem grad entdeckten VR rin, was denn sonst
Gruss leduart
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