Abbildung eines Punktes in 2D < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 Mo 07.11.2011 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe 1 | Gegeben ist in der Ebene [mm] \IR^2 [/mm] ein Punkt P(u|v) mit [mm] v\not=0. [/mm] P' sei der Bildpunkt von P bzgl der Abbildung f.
Begründen sie anhand der Koordnaten von P', dass die Punkte P und P' verschieden sind. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie: Die Gerade [mm] g_{PP'} [/mm] verläuft parallel zur Gerade [mm] g_{AA'} [/mm] aus (a), und die Strecke [mm] \overline{PP' } [/mm] wird von der x-Achse halbiert. |
Abbildung f ist übrigens:
[mm] f(\vec{x})= \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & -1 }* \vec{x}
[/mm]
Die Gerade aus (a):
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] + r [mm] \vektor{-2 \\ -2}
[/mm]
Aufgabe 1 habe ich gelöst. Es wäre super wenn jemand mal einen Blick darauf werden könnte.
[mm] f(\vec{x})= \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & -1 }* \vektor{u \\ v} [/mm] = [mm] \vektor{u-2v \\ -v}
[/mm]
P'(u-2v|-v)
Das kann ja bei v [mm] \not=0 [/mm] unmöglich = P sein oder?
Wie gehe ich jetzt bei Aufgabe 2 vor? Ich hab leider gar keine Ahnung
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Hallo DarkJiN,
es wäre nett und nach meiner Ansicht dringend notwendig,
zuerst einmal die Aufgabe klar darzustellen. Was ich im Moment
sehe, ist ein ziemliches Durcheinander von Angaben mit durch-
einander gewürfelten Bezeichnungen, aus denen man kaum
schlau werden kann ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 07.11.2011 | | Autor: | DarkJiN |
Die aufgabenstelleung im kaarierten Kästchen ist wortwörtlich abgeschrieben.
Die Abbildung f kommt aus einer früheren Aufgabe und deswegen habe ich sie unten aufgeführt damit meien rechnungen nachvollziehbar werden.
Genauso wie die Gerade AA' die in der Teilaufgabe (a) errechnet habe. Mehr Informationen habe ich leider auch nicht sorry. Was genau fehlt dir denn?
Oder weißt du bei einer Sache nicht, was sie bedeuten soll? Wenn du nach etwas genauem fragst, kann ich dir vielleicht weiterhelfen.
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> Die aufgabenstelleung im kaarierten Kästchen ist
> wortwörtlich abgeschrieben.
> Die Abbildung f kommt aus einer früheren Aufgabe und
> deswegen habe ich sie unten aufgeführt damit meien
> rechnungen nachvollziehbar werden.
> Genauso wie die Gerade AA' die in der Teilaufgabe (a)
> errechnet habe.
Hallo,
mit den abgeänderten Bezeichnungen ist es jetzt klarer
geworden.
Für die Aufgabe (b) kannst du doch einmal den Mittelpunkt
der Strecke [mm] \overline{PP'} [/mm] berechnen und zeigen, dass er auf der
x-Achse liegt. Ferner kannst du (für die Parallelität) nach-
weisen, dass der Vektor [mm] \overrightarrow{PP'} [/mm] ein Vielfaches von [mm] \overrightarrow{AA'} [/mm] sein muss.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mo 07.11.2011 | | Autor: | DarkJiN |
Aber wie soll ich denn den Mittelpunkt von eienr Strcke aus zwei Variabeln berechnen?
Ich habe für P und P' ja keine Zahlen.
Ist aufgabe 1 denn richtig?
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> Aber wie soll ich denn den Mittelpunkt von eienr Strcke aus
> zwei Variabeln berechnen?
> Ich habe für P und P' ja keine Zahlen.
Das spielt eigentlich keine wesentliche Rolle, denn du hast
doch die entsprechenden Terme: [mm] P(\,u\,/\,v\,) [/mm] und [mm] P'(\,u-2\,v\,/\,-v\,)
[/mm]
Dann ist der Mittelpunkt [mm] M(\,u-\,v\,/\,0\,) [/mm] (zeige das !).
Und der liegt offenbar auf der x-Achse, da die zweite Koor-
dinate gleich 0 ist.
> Ist aufgabe 1 denn richtig?
Ja. Mach das auch ganz klar, dass aus v≠0 folgt, dass P≠P' !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 07.11.2011 | | Autor: | DarkJiN |
[mm] \bruch{1}{2}(\vektor{u-2v\\ -v}+\vektor{u \\ v}) [/mm] = [mm] \vektor{u-v \\ 0}
[/mm]
Und um zu checken ob die beidne geraden parallel sind müsste ich die richtungsvektoren der beiden Geraden vergleichen.
Wie komme ich an den Richtugns Vektor von PP' ?
[mm] \vektor{u-2v \\ -v}- \vektor{u \\ v}= \vektor{-2v \\ -2v} [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) ja richtig, und dass der Pkt auf der x- Achse liegt ist ja wohl klar.
b)auch richtig , die Richtung hast du doch in deiner Rechnung:
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei 1) musst du schon sagen, warum das nicht möglich etwa: wegen [mm] v\ne0 [/mm] ist..... nicht möglich.
zu 2 man kann dich auch den Mittelpunkt von 2 Punkten (a,b) (a',b') bestimmen. ohne a,a' zu kennen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 07.11.2011 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | In der Ebene [mm] \IR^2 [/mm] sei Z ein Punkt mit dem Ortsvektor [mm] \vec{x}_{z} [/mm] und k sei eine positive Zahl. Dnn heißt die Abbildung f eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k, wenn für alle [mm] \vec{x}\in\IR^2 [/mm] gilt:
[mm] f(\vec{x})-\vec{x}_{z}=k(\vec{x}-\vec{x}_{z})
[/mm]
(a) Gegeben ist die zentrische Streckung [mm] f_{1} [/mm] mit dem Zentrum [mm] Z_{1}(3|4) [/mm] und dem Streckfaktor [mm] k_{1}=3
[/mm]
Zeigen Sie, dass doe Abbildung [mm] f_{1} [/mm] durch [mm] f_{1}(\vec{x})= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }*\vec{x} +\vektor{-6 \\ -8} [/mm] beschrieben wird
Rechnen sie bezüglich der Abbildung f1 die Koordinaten der Bildpunkte A' und B' der Punkte A(-1|3) und B(4|0)
Zeigen Sie, dass [mm] Z_{1} [/mm] der einzige Punkt ist, der durch f1 auf sichs elbst abgegebildet wird. |
zu ersteinmal ist mir aufgefallen, dass [mm] \vektor{6 \\ 8}= 2*\vektor{3 \\ 4}, [/mm] also der Ortsvektor von Z1 ist.
ich habe mir folgendes überlegt:
[mm] f(\vec{x})-\vec{x}_{z}=k(\vec{x}-\vec{x}_{z}) |+\vec{x}_{z}
[/mm]
[mm] f(\vec{x})= k(\vec{x}-\vec{x}_{z})+\vec{x}_{z}
[/mm]
[mm] f(\vec{x})= 3(\vec{x}-\vektor{3 \\ 4})+\vektor{3 \\ 4}
[/mm]
Wie geh ich weiter vor? Das scheint mir noch richtig zu sein..
Sollte ich [mm] \vec{x} [/mm] ausklammern?
Wenn ja wie geht das..?
Um die Punkte A und B abzubilden habe ich sie einfach in [mm] f_{1}(\vec{x})= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }*\vec{x} +\vektor{-6 \\ -8} [/mm] eingesetzt.
Um zu zeigen das Z1 sich selbst abbildet auch einfahc dort eingesetzt.
Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ja jetzt die zentr. Streckung richtig hingeschrieben, jetzt muss du nur fesstellen ob sie mit dem vorgegebenen f1 übereinstimmt. indem du f1 in dieselbe Form bringst.
das weitere ist nur einsetzen.
aber für Z musst du nicht nur nachweisen, dass es auf sich selbst abgebildet wird, sondern dass es ach keinen anderen Punkt gibt für den das gilt.
nachdem du in a) die Übereinstimmung der 2 Darstellungen nachgewiesen hast, nimm die bequemere um die Bilder von A und B zu best. und das mit Z
Gruss leduart
PS
Bitte zukünftig neue Fragen in neue threads, sonst werden die unübersichtlich. diese Frage hatte ja nichts mt der vorhereigen zu tun.
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