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| Aufgabe | Es sei V ein IK-VR. Jedes v [mm] \in [/mm] V definiert eine Abbilung [mm] ev_v: [/mm] V* ->IK durch [mm] ev_v (\phi):=\phi(v). [/mm] Zeigen Sie:
a) [mm] ev_v: [/mm] V*->IK ist für jedes v [mm] \in [/mm] V linear. (also [mm] ev_v \in [/mm] V**)
b)Die Abbildung ev : V->V**, v [mm] \mapsto ev_v [/mm] ist linear.
c)Kern (ev) = {0}
d) ev ist injektiv.
e) Ist V endlich-dimensional, so ist ev ein Isomorphismus. |
Hallo zusammen,
kann mir vielleicht jemand bei der Aufgabe helfen? Was ist V**? Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll...
Gruß Knöpfchen
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> Es sei V ein IK-VR. Jedes v [mm]\in[/mm] V definiert eine Abbilung
> [mm]ev_v:[/mm] V* ->IK durch [mm]ev_v (\phi):=\phi(v).[/mm] Zeigen Sie:
> a) [mm]ev_v:[/mm] V*->IK ist für jedes v [mm]\in[/mm] V linear. (also [mm]ev_v \in[/mm]
> V**)
> b)Die Abbildung ev : V->V**, v [mm]\mapsto ev_v[/mm] ist linear.
> c)Kern (ev) = {0}
> d) ev ist injektiv.
> e) Ist V endlich-dimensional, so ist ev ein
> Isomorphismus.
> Hallo zusammen,
> kann mir vielleicht jemand bei der Aufgabe helfen? Was ist
> V**? Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll...
Hallo,
bevor Du Dir den Kopf über V** zerbrichst, solltest Du Dir erstmal klarmachen, was V* ist.
V* ist die Menge aller Linearformen, aller linearen Abbildungen v. V [mm] \to [/mm] K.
Daß V* ein VR ist, wurde in der Vorlesung gezeigt. Er heißt der "Dualraum zu V".
Auch, wenn ich mich wiederhole: die Elemente v. V* sind Homomorphismen v. V nach K.
In Deiner Aufgabe wird nun für jedes [mm] v\in [/mm] V eine Abbildung [mm] ev_v [/mm] definiert.
Was tut diese Abbildung? Sie ordnet jedem [mm] \phi \in [/mm] V*, also jeder Linearform auf V, den Wert von [mm] \phi [/mm] an der Stelle v zu:
> [mm] ev_v:[/mm] [/mm] V* ->IK durch [mm][mm] ev_v (\phi):=\phi(v)
[/mm]
In Aufgabe a) sollst Du nun zeigen, daß die Abb [mm] ev_v [/mm] linear sind.
Wenn sie linear sind, bedeutet das: wir haben es hier mit Homomorphismen v. V* nach K zu tun, also mit Elementen aus (V*)*=:V**.
Bevor Du blindlings irgendetwas anfängst, um die Linearität zu zeigen, meditiere zunächst darüber, welches die Elemente sind, auf die die Abb [mm] ev_v [/mm] angewandt wird.
Ich denke, b) können wir getrost so lange aufschieben, bis a) steht.
Gruß v. Angela
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