Abbildung injektiv, surjektiv? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Anne86 |
Hallo!
ich habe grade mein Mathe-Studium in Bielefeld begonnen und doch noch einige Probleme damit, dass das Schul-Mathe einen in keinster Weise auf das vorbereitet, was einen an der Uni erwartet.
Meine Frage bezieht sich auf eine unserer Übungsaufgaben:
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität.
f: [mm] \IN \to \IN,n \mapsto 3*n^{2}-2n+5
[/mm]
g: [mm] \IN \to \IN,n\mapsto n+(-1)^{n}
[/mm]
h: [mm] \IR\to\IR>=0,(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}
[/mm]
Ich habe mir gedacht, dass f nicht injektiv ist, da es einen Scheitelpunkt gibt. Surjektiv ist sie ebenfalls nicht, weil (nach Zeichnung) nicht allen y ein x zugeordnet ist. Ich würde die Aufgabe aber gerne rechnerisch per Beweis lösen. Mein Ansatz war, dass für eine injektive Funktion gelten muss: f(x1)=f(x2) und x1=x2, allerdings gilt dieser Ansatz (glaube ich) nur, wenn die Abbildung von X [mm] \mapsto\ [/mm] Y geht.
Zu g habe ich mir ebenfalls erstmal eine Skizze gemacht, danach ist die Funktion ebenfalls nicht injektiv, da es zu einem y mehrere x-Werte gibt. Sie müsste nach Zeichnung jedoch surjektiv sein, da es für jedes y einen x-Wert gibt.
Zu h habe ich noch keine Ideen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für Hilfe wäre ich echt dankbar :)
Liebe Grüße, Anne
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> ich habe grade mein Mathe-Studium in Bielefeld begonnen und
> doch noch einige Probleme damit, dass das Schul-Mathe einen
> in keinster Weise auf das vorbereitet, was einen an der Uni
> erwartet.
Jaja - ich glaub', das geht fast jedem so am Anfang... 
> Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität
> und Surjektivität.
>
> f: [mm]\IN \to \IN,n \mapsto 3*n^{2}-2n+5[/mm]
> g: [mm]\IN \to \IN,n\mapsto n+(-1)^{n}[/mm]
>
> h: [mm]\IR\to\IR>=0,(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}[/mm]
>
> Ich habe mir gedacht, dass f nicht injektiv ist, da es
> einen Scheitelpunkt gibt. Surjektiv ist sie ebenfalls
> nicht, weil (nach Zeichnung) nicht allen y ein x zugeordnet
> ist. Ich würde die Aufgabe aber gerne rechnerisch per
> Beweis lösen. Mein Ansatz war, dass für eine injektive
> Funktion gelten muss: f(x1)=f(x2) und x1=x2, allerdings
> gilt dieser Ansatz (glaube ich) nur, wenn die Abbildung von
> X [mm]\mapsto\[/mm] Y geht.
Geht sie doch aber. In diesem Fall ist dann X=Y. Du hast Recht, dass die Funktion nicht injektiv ist. Um das zu beweisen reicht ein Gegenbeispiel, du musst also zwei unterschiedliche x-Werte angeben, für die der y-Wert gleich ist. Beachte aber auch, dass die Funktion hier nur von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] geht. Auch surjektiv ist die Funktion nicht, denn z. B. für y=2 gibt es keinen x-Wert, so dass f(x)=2 ist. Das würde auch schon als Gegenbeispiel genügen, du musst nur noch zeigen, dass es wirklich kein solches x gibt.
Leider muss ich jetzt weg - aber evtl. schreibe ich nachher noch etwas.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 So 30.10.2005 | | Autor: | Anne86 |
Hallo Bastiane,
schonmal vielen Dank für deine Hilfe. Die Idee mit dem Gegenbeispiel hatte ich auch, ich wusste aber nicht, ob das als Beweis genügt.
Hier nochmal die Abbildungen:
f: [mm] \IN\mapsto\IN, n\mapsto 3*n^{2}-2*n+5
[/mm]
g: [mm] \IN\mapsto\IN, n\mapsto n+(-1)^{n}
[/mm]
h: [mm] \IR^{2}\mapsto\IR>=0, (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}
[/mm]
So, ich habe mir nochmal so meine Gedanken gemacht und dabei etwas gemerkt. Der Definitionsbereich der Abbildung ist [mm] \IN, [/mm] deshalb ist f doch injektiv, aber nicht surjektiv, da für f(n)=0,1,2,3,4 kein x-Wert existiert.
Um zu zeigen, dass die Abbildung nicht surjektiv ist, könnte man die Ableitung bilden und dann den Extrempunkt ermitteln (Hab ich mal gemacht: Minimum bei n=1/3 und f(n)=14/3). Da wir uns aber im Bereich der natürlichen Zahlen befinden und 14/3<5 ist, heißt das, es gibt für alle f(n)<5 keinen x-Wert. Damit ist die Abbildung nicht surjektiv.
Wie man die injektivität nun beweißt, weiß ich nicht genau. Aber es gibt schonmal keine negativen Werte von x und der Tiefpunkt der Abbildung liegt fast auf der y-Achse, deshalb ist es logisch dass sie injektiv ist. Aber wie beweise ich das jetzt? Kann man dazu den Ansatz f(n1)=f(n2) => n1=n2 benutzen?
Zu g habe ich mir folgendes überlegt:
es gibt eine Nullstelle für n=1
und die Funktion geht gegen [mm] \infty [/mm] für n gegen [mm] \infty, [/mm] deshalb müsste die doch dann surjektiv sein. injektiv ist sie meiner Meinung nach auch, da wir uns ja im Bereich der natürlichen Zahlen bewegen, aber da weiß ich nicht, wie ich den Beweis formulieren soll.
zu h habe ich ehrlich gesagt noch keinen Schimmer, weil ich gar nicht weiß, wie das gemeint ist mit [mm] \IR^{2} [/mm] und (x,y).
Liebe Grüße, Anne
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> Hallo Bastiane,
>
> schonmal vielen Dank für deine Hilfe. Die Idee mit dem
> Gegenbeispiel hatte ich auch, ich wusste aber nicht, ob das
> als Beweis genügt.
Hallo,
ein einziges Gegenbeispiel reicht immer.
>
> Hier nochmal die Abbildungen:
> f: [mm]\IN\mapsto\IN, n\mapsto 3*n^{2}-2*n+5[/mm]
> g:
> [mm]\IN\mapsto\IN, n\mapsto n+(-1)^{n}[/mm]
> h:
> [mm]\IR^{2}\mapsto\IR>=0, (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}[/mm]
>
> So, ich habe mir nochmal so meine Gedanken gemacht und
> dabei etwas gemerkt. Der Definitionsbereich der Abbildung
> ist [mm]\IN,[/mm] deshalb ist f doch injektiv
Ja.
>aber nicht surjektiv,
> da für f(n)=0,1,2,3,4 kein x-Wert existiert.
Genau der richtige Gedanke
Du machst es Dir mit der Begründung viel zu schwer.
[mm] 3*n^{2}-2*n+5= [/mm] 3((n- [mm] \bruch{1}{3})^2 [/mm] + [mm] \bruch{14}{9}) \ge 3*\bruch{15}{9}=5.
[/mm]
Also gibt es kein n [mm] \in \IN [/mm] mit f(n) =1.
>
> Um zu zeigen, dass die Abbildung nicht surjektiv ist,
> könnte man die Ableitung bilden
Mit Ableitungen würde ich gar nicht anfangen, die hattet Ihr bestimmt noch nicht... An der Uni, meine ich.
>
> Wie man die injektivität nun beweißt, weiß ich nicht genau.
>... Aber wie beweise ich
> das jetzt? Kann man dazu den Ansatz f(n1)=f(n2) => n1=n2
> benutzen?
Ja. Setze [mm] f(n_1)=f(n_2) [/mm] an, schaff die Quadrate auf die eine Seite, den rest auf die andere und spiel ein bißchen mit der dritten Binomischen.
>
> Zu g habe ich mir folgendes überlegt:
Bei g würde ich in Richtung "gerade" und "ungerade" denken.
Surjektiv:
Zeig, daß man zu jeder geraden Zahl 2m ein n findet mit g(n)=2m
und zu jeder ungeraden Zahl 2m+1 ein n mit g(n)=2m+1.
Da es was anderes als gerade und ungerade in [mm] \IN [/mm] nicht gibt, wäre damit die Surjektivität gezeigt.
injektiv: mit g (n)=g(m).
Mach Fallunterscheidungen. n,m beide gerade, n,m beide ungerade, n gerade und m ungerade. In den ersten beiden Fällen purzelt sofort n=m raus, beim letzten muß man zweimal gucken, um den Witz zu bemerken.
> zu h habe ich ehrlich gesagt noch keinen Schimmer, weil ich
> gar nicht weiß, wie das gemeint ist mit [mm]\IR^{2}[/mm] und (x,y).
h ist eine Funktion die von den "Zahlenpaaren" nach [mm] \IR [/mm] geht.
Statt h(a)=blabla hast Du hier h((x,y))=blabla.
Im konkreten Beispiel [mm] h((1,2))=1^2+2^2=5 [/mm] und [mm] h((-4,9))=(-4)^2 +9^2=97.
[/mm]
injektiv:
Wenn Du ein einziges Beispiel angibst, wo für zwei verschiedene Zahlenpaare derselbe Funktionswert herauskommt, hast Du gezeigt, daß die Funktion nicht injektiv ist.
surjektiv:
Man kann jede positive reelle Zahl mit h erwischen. Wähl einfach x=0. Welches y kannst Du dann nehmen, um eine gewünschte Zahl zu erreichen? (Hätte man als Wertebereich ganz [mm] \IR [/mm] zugelassen, sähe es anders aus.)
Viel Erfolg!
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüße, Anne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 30.10.2005 | | Autor: | Anne86 |
Hallo Angela,
schonmal lieben Dank für die super Hilfe. f habe ich jezz denke ich mal komplett. aber bei g haperts doch noch. Wenn cih dich richtig verstanden habe, soll ich beweisen, dass gilt: [mm] 2*m=n+(-1)^{n} [/mm] und [mm] 2m+1=n+(-1)^{n}. [/mm] Ich habe nun den Ansatz so gewählt: Wenn 2m gleich [mm] n+(-1)^{n} [/mm] sein soll, dann muss [mm] n+(-1)^{n} [/mm] gerade sein da ja 2m auch gerade ist. daraus folgt, dass n ungerade sein muss und daraus folgt n+(-1), dass kann man dann umformen und es ergibt 2m+1=n, das stimmt, da 2m gerade war, und n ungerade. Ist das ein Beweis? oder muss man das ganz anders angehen? eine andere Idee habe ich nciht, wäre also für einen Tipp wirklich dankbar.
Anne
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> Hallo Angela,
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> schonmal lieben Dank für die super Hilfe. f habe ich jezz
> denke ich mal komplett. aber bei g haperts doch noch. Wenn
> cih dich richtig verstanden habe, soll ich beweisen, dass
> gilt: [mm]2*m=n+(-1)^{n}[/mm] und [mm]2m+1=n+(-1)^{n}.[/mm] Ich habe nun den
> Ansatz so gewählt: Wenn 2m gleich [mm]n+(-1)^{n}[/mm] sein soll,
> dann muss [mm]n+(-1)^{n}[/mm] gerade sein da ja 2m auch gerade ist.
> daraus folgt, dass n ungerade sein muss und daraus folgt
> n+(-1), dass kann man dann umformen und es ergibt 2m+1=n,
> das stimmt, da 2m gerade war, und n ungerade. Ist das ein
> Beweis? oder muss man das ganz anders angehen? eine andere
> Idee habe ich nciht, wäre also für einen Tipp wirklich
> dankbar.
Hallo,
ich komme da oben nicht so ganz mit, weil mir nicht so klar ist, WAS genau Du zeigen willst.
Fangen wir mal mit surjektiv an.
Wir müssen zeigen, daß es zu jedem y [mm] \in \IN [/mm] ein x [mm] \in \IN [/mm] gibt mit g(x)=y.
Die y sind entweder gerade oder ungerade.
1.Fall: y gerade, also y= 2m f.e. m in [mm] \IN.
[/mm]
Es ist [mm] g(2m+1)=2m+1+(-1)^{2m+1}=2m
[/mm]
2.Fall: y ungerade, y=2m+1
Es ist [mm] g(2m)=2m+(-1)^{2m}=2m+1
[/mm]
In jedem Fall findet man ein passendes x.
Injektiv.
Sei g(x)=g(y)
Dies kann nur vorkommen, wenn xund y beide gerade oder beide ungerade sind.
1.Fall: x und y beide gerade.
Aus g(x)=g(y) folgt dann x+1=y+1 ==> x=y
2.Fall: beide ungerade
Es folgt x-1=y-1 ==> x=y
Also injektiv.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Ich bin auch nicht so gut in rechnerischen Beweisen, aber ich glaube ich kann dir ein paar Tips geben:
Zuerst einmal zur Funktion f:
Du hast recht, dass injektiv bedeutet: wenn f(x)=f(y) dann folgt x=y. In diesem Fall sind deine Mengen X und Y jeweils die Menge der natürlichen Zahlen, da f: [mm] \IN \to\IN. [/mm] Dies musst du bei der Überprüfung der Injektivität bzw. Surjektivität beachten, weil die x und y nur aus [mm] \IN [/mm] sind. Das heißt für die Funktion f, dass sie Injektiv ist (betrachte für x nur solche Element [mm] \varepsilon \IN), [/mm] aber nicht surjektiv, weil es z.B. für y=1 kein x gibt: es gilt nicht für jedes y [mm] \varepsilon [/mm] Y gibt es ein x [mm] \varepsilon [/mm] X. Als Beweis müsste es reichen wenn du ein Gegenbeispiel bringst (z.B. y=1).
Wenn du bei den Funktionen g und h auch beachtest um welche Mengen es sich handelt, dann kommst du bestimmt auch darauf, ob sie injektiv/surjektiv sind oder nicht. g ist so ähnlich wie f und bei h kannst du bei der Injektivität ein Gegenbeispiel bringen, um zu zeigen, dass es nicht injektiv ist: betrachte mal (1,1) und (-1,-1): beide werden auf 2 abgebildet.
Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen.
Gruß Marietta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 So 30.10.2005 | | Autor: | Marietta |
Sorry, hatte gar nicht gesehen, dass auf deine Frage schon geantwortet wurde. Konnte meine Antwort aber nicht mehr löschen, deswegen steht sie jetzt auch noch da. Bitte nicht wundern...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 So 30.10.2005 | | Autor: | Anne86 |
Vielen, vielen Dank für die tolle Hilfe! Das hat mir echt geholfen!
Lg, Anne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Di 01.11.2005 | | Autor: | Anne86 |
Hallo nochmal,
mir ist aufgefallen, dass mein Beweis vonf für injektivität falsch ist, kann mir vielleicht nochmal jemand helfen, ich bekomme am ende immer raus:
(n1-n2)*(n1+n2)=2/3*(n1-n2) <=> n1+n2=2/3 <=> n1=2/3-n2
(das würde heißen, f ist nicht injektiv)
nun ist mir aber auch aufgefallen, dass wenn n1=n2 sein soll, n1-n2=0 ist, und durch null darf man ja nicht teilen, wie zeigt man denn nun richtig, dass n1=n2 ist?
Für nochmalige Hilfe wäre ich dankbar :)
lg, Anne
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>.... ich
> bekomme am ende immer raus:
>
> (n1-n2)*(n1+n2)=2/3*(n1-n2) <=> n1+n2=2/3 <=> n1=2/3-n2
Wir frisieren das ein bißchen.
[mm] (n_1-n_2)*(n_1+n_2)=2/3*(n_1-n_2)
[/mm]
[mm] ==>(n_1-n_2)(n_1+n_2-2/3)=0
[/mm]
==> [mm] n_1=n_2 [/mm] oder [mm] n_1+n_2=2/3 [/mm]
Weil letzteres nicht sein kann ( [mm] \IN) [/mm] folgt [mm] n_1=n_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Di 01.11.2005 | | Autor: | Anne86 |
Hallo Angela!
nochmal vielen Dank für die tolle Hilfe!
Lg, Anne
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