Abbildung intergrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 So 06.05.2012 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | es sei [mm] (\Omega, [/mm] F, [mm] \mu) [/mm] der Maßraum mit [mm] \Omega [/mm] = { 1,2,3,4,5,6 }, F = [mm] \sigma (\epsilon) [/mm] mit [mm] \epsilon [/mm] = {{1}, {2,3}} und für [mm] \mu [/mm] gelte [mm] \mu( [/mm] {1} )= 1, [mm] \mu( [/mm] {2,3} ) = 2 und [mm] \mu(\Omega) [/mm] =7
welche der folgenden Abbildungen f: [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] bezüglich [mm] \mu [/mm] sind integrierbar? geben Sie gegebenenfalls [mm] \integral_{\Omega}{f d\mu} [/mm] an.
a) [mm] f(\omega) [/mm] = [mm] \omega
[/mm]
c) [mm] f(\omega)= [/mm] max { [mm] \omega,4 [/mm] } |
eine Abbildung muss ja messbar sein um integrierbar zu sein. da brauche ich erst das Urbild, wenn das Urbild auch in F ist, dann ist es integrierbar.
bei der a) steht in der Lösung
f( {2} )= { 2 }
[mm] f^{-1} [/mm] = ( {2} ) = { 2 }
hier versteh ich nicht, warum ist das Urbild auch die menge 2?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 So 06.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kioto,
> a) [mm]f(\omega)[/mm] = [mm]\omega[/mm]
>
> eine Abbildung muss ja messbar sein um integrierbar zu
> sein. da brauche ich erst das Urbild, wenn das Urbild auch
> in F ist, dann ist es integrierbar messbar.
> bei der a) steht in der Lösung
> f( {2} )= { 2 }
> [mm]f^{-1}[/mm] = ( {2} ) = { 2 }
> hier versteh ich nicht, warum ist das Urbild auch die
> menge 2?
Es gilt:
[mm] $f^{-1}(\{2\})=\{\omega\in\Omega\;|\;f(\omega)\in\{2\}\}=\{\omega\in\Omega\;|\;\omega\in\{2\}\}=\{\omega\in\Omega\;|\;\omega=2\}=\{2\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 06.05.2012 | | Autor: | kioto |
danke tobias!
> Es gilt:
>
> [mm]f^{-1}(\{2\})=\{\omega\in\Omega\;|\;f(\omega)\in\{2\}\}=\{\omega\in\Omega\;|\;\omega\in\{2\}\}=\{\omega\in\Omega\;|\;\omega=2\}=\{2\}[/mm].
>
ich glaube, so ganz habe ich es noch nicht verstanden.....
kannst du mir vielleicht noch mal mit der c) erklären? in der Lösung steht:
f( { 4 } = {4}
[mm] f^{-1} [/mm] ( { 4 })= {1,2,3,4}
macht man hier gauau so?
[mm] f^{-1} [/mm] ( { 4 })= { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] f(\omega) \in [/mm] {4} = { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] \omega} \in [/mm] {4}}
aber wie komme ich da auf {1,2,3,4}......
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 06.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Direkt unterhalb des Texteingabefensters findest du übrigens einen Button "Vorschau", der es dir ermöglicht, schon vor Abschicken eines Beitrages das Ergebnis zu sehen und zu korrigieren.
> kannst du mir vielleicht noch mal mit der c) erklären? in
> der Lösung steht:
> f( [mm] \{ 4 \} [/mm] = [mm] \{4\}
[/mm]
> [mm]f^{-1}[/mm] ( [mm] \{ 4 \})= \{1,2,3,4\}
[/mm]
>
> macht man hier gauau so?
> [mm]f^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
( $\{$ 4 $\}$)= $\{$ [mm]\omega \in \Omega[/mm] | [mm]f(\omega) \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{4\}\}$ =
> $\{$ [mm]\omega \in \Omega[/mm] | [mm]\omega \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{4\}\}$
Der letzte Schritt stimmt hier nicht. In c) ist $f(\omega)=\max\{\omega,4\}$, nicht $f(\omega)=\omega$.
> aber wie komme ich da auf \{1,2,3,4\}......
Du erhältst also
$f^{-1}(\{4\})=\{\omega\in\Omega\;|\;\max\{\omega,4\}\in\{4\}\}=\{\omega\in\Omega\;|\;\max\{\omega,4\}=4\}.$
Für welche $\omega\in\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ gilt nun $\max\{\omega,4\}=4$?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 06.05.2012 | | Autor: | kioto |
ahh......danke danke! so langsam hab Ichs.....
danke übrigens auch für den Hinweis, war ziemlich deprimierend jedes mal zu sehen dass schon wieder was schief lief
wenn ich aber bei der a) erstmal nur mit [mm] \mu( [/mm] {1} ) = 1 gerechnet hätte, dann wärs messbar, also integrierbar gewesen, weil die menge {1} in F ist, stimmt es?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 06.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> wenn ich aber bei der a) erstmal nur mit [mm]\mu([/mm] {1} ) = 1
> gerechnet hätte,
Für die Messbarkeit sind URbilder messbarer Mengen zu betrachten, nicht Bilder.
> dann wärs messbar,
Nein, die Abbildung f aus a) ist nicht messbar, wie durch die Musterlösung gezeigt wurde. ALLE Urbilder messbarer Mengen müssen messbar sein, damit eine Abbildung messbar ist.
> also integrierbar
> gewesen,
Aus Messbarkeit folgt noch nicht automatisch Integrierbarkeit. Für letzteres müssen die Integrale von Positivteil und Negativteil der Abbildung endlich sein.
|
|
|
|
