Abbildung mit Skalarprodukt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Do 24.04.2008 | | Autor: | sie-nuss |
| Aufgabe | Was bedeutet die Abbildung [mm] f:\IR^n \to \IR^n [/mm] mit [mm] v\mapsto2a-v [/mm] wobei a [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] \parallel a\parallel=1 [/mm] geometrisch?
Hat f Eigenwerte und wo liegen die Eigenvektoren? |
Hallo Leute,
also wenn a ein Einheitsvektor ist (sagen wir dass die 1 an i-ter Stelle kommt), dann drehen sich alle Vorzeichen vom Vektor v um, außer die i-Koordinate. Im [mm] \IR^2 [/mm] heißt das eine Spiegelung an einer der Achsen, im [mm] \IR^3 [/mm] Spiegelungen an Ebenen. (Soweit ist es doch richtig oder?)
Was bedeutet es jetzt für alle n? Und was wenn ich nicht einen Einheitsvektor einsetze? Ich hab das ausprobiert und es kommen sehr krumme Sachen dabei raus...
Achso es gibt wohl 2 Eigenwerte...
Liebe Grüße!
sie-nuss
Bin sehr verwirrt
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> Was bedeutet die Abbildung [mm]f:\IR^n \to \IR^n[/mm] mit
> [mm]v\mapsto2a-v[/mm] wobei a [mm]\in \IR^n[/mm] mit [mm]\parallel a\parallel=1[/mm]
> geometrisch?
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> Hat f Eigenwerte und wo liegen die Eigenvektoren?
> Hallo Leute,
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> also wenn a ein Einheitsvektor ist (sagen wir dass die 1 an
> i-ter Stelle kommt), dann drehen sich alle Vorzeichen vom
> Vektor v um, außer die i-Koordinate. Im [mm]\IR^2[/mm] heißt das
> eine Spiegelung an einer der Achsen, im [mm]\IR^3[/mm] Spiegelungen
> an Ebenen. (Soweit ist es doch richtig oder?)
> Was bedeutet es jetzt für alle n? Und was wenn ich nicht
> einen Einheitsvektor einsetze? Ich hab das ausprobiert und
> es kommen sehr krumme Sachen dabei raus...
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> Achso es gibt wohl 2 Eigenwerte...
>
> Liebe Grüße!
> sie-nuss
Hallo,
Du hast doch gar nicht so übel angefangen.
Sei doch ein bißchen nett zu Dir und wähle eine Basis, deren erster Basisvektor a ist.
Diese kannst Du durch [mm] v_2,...v_n [/mm] so zu einer Basis des [mm] \IR^n [/mm] ergänzen, daß die [mm] v_i [/mm] senkrecht sind zu a.
Stelle dann die Matrix bzgl dieser Basis auf. Hieran siehst Du alles.
Gruß v. Angela
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