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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Fr 27.07.2012 | | Autor: | JohnLH |
| Aufgabe | Gegeben: 2 Abbildungen:
P(x) aus P2 wird auf Q(x)=3P'(x) aus P1 abgebildet
P(x) aus P1 wird auf Q(x)=2x aus P1 abgebildet
Ist die erste Abbildung linear? Wenn ja, durch welche Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis für P1 (P2) die Standardbasis 1, x, [mm] (x^{2})
[/mm]
Ist die zweiteAbbildung linear? Wenn ja, durch welche Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis für P1 die Standardbasis 1, x |
1) [mm] F(\lambda1p1(x) [/mm] + [mm] \lambda2p2(x))=3(\lambda1p1'(x)+ \lambda2p2'(x))= [/mm] + [mm] \lambda1F(p1(x))+\lambda2F(p2(x))
[/mm]
Es ist eine lineare Abbildung.
Die Matrix, die diese Abb. darstellt ist folgende:
F[1]=0
F[x]=3
[mm] F[x^{2}]=6
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die zweite ist keine lineare Abbildung, da F(p1(x)+p2(x)) [mm] \not= [/mm] F(p1(x)) +F(p2(x))
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Hallo JohnLH,
> Gegeben: 2 Abbildungen:
> P(x) aus P2 wird auf Q(x)=3P'(x) aus P1 abgebildet
> P(x) aus P1 wird auf Q(x)=2x aus P1 abgebildet
>
> Ist die erste Abbildung linear? Wenn ja, durch welche
> Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis
> für P1 (P2) die Standardbasis 1, x, [mm](x^{2})[/mm]
>
> Ist die zweiteAbbildung linear? Wenn ja, durch welche
> Matrix wird die Abbildung beschrieben? Wähle als Basis
> für P1 die Standardbasis 1, x
> 1) [mm]F(\lambda1p1(x)[/mm] + [mm]\lambda2p2(x))=3(\lambda1p1'(x)+ \lambda2p2'(x))=[/mm] [mm]\lambda1F(p1(x))+\lambda2F(p2(x))[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Indizes kannst du mit dem Unterstrich _ machen, also etwa p_2(x) für [mm]p_2(x)[/mm]
> Es ist eine lineare Abbildung.
Ja!
> Die Matrix, die diese Abb. darstellt ist folgende:
> F[1]=0
> F[x]=3
> [mm]F[x^{2}]=6[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
Nein, das muss doch eine [mm]2\times 3[/mm]-Matrix sein, [mm]P_1[/mm] ist doch 2-dimensional.
>
> Die zweite ist keine lineare Abbildung, da F(p1(x)+p2(x))
> [mm]\not=[/mm] F(p1(x)) +F(p2(x))
Hier könntest du ein konkretes Gegenbsp., also konkrete Polynome [mm]p_1, p_2\in P_1[/mm] angeben, die die Linearität verletzen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Fr 27.07.2012 | | Autor: | JohnLH |
Vielen Dank für die gute Antwort!
Könnte das die Matrix sein:
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Fr 27.07.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Vielen Dank für die gute Antwort!
> Könnte das die Matrix sein:
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm] ?
Gruß
meili
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