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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Di 28.10.2008 | | Autor: | Steini |
| Aufgabe | Sei f: x [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und sein [mm] \emptyset \not= [/mm] I eine Indexmenge. Für alle i [mm] \in [/mm] I seien [mm] B_{i} [/mm] und [mm] A_{i} [/mm] Mengen. Zeigen Sie:
(a) Sind [mm] B_{i} \subseteq [/mm] Y für alle u \ in I, so gilt
[mm] f^{-1}(\bigcup_{i \in I} B_{i})= \bigcup_{i \in I} f^{-1} (B_{i}) [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht, in wie weit ich das machen darf, aebr meine Lösung lautet bis jetzt:
[mm] f^{-1}(\bigcup_{i \in I} B_{i})
[/mm]
<=> [mm] f^{-1} [/mm] {b: es gibt ein i [mm] \in [/mm] I mit b [mm] \in B_{i} [/mm] }
<=>{ [mm] f^{-1} [/mm] (b: es gibt ein i [mm] \in [/mm] I mit [mm] f^{-1} [/mm] (b) [mm] \in f^{-1} (B_{i} [/mm] )}
<=>{ [mm] a_{i} [/mm] : es gibt ein i [mm] \in [/mm] I mit a [mm] \in A_{i} [/mm] }
[mm] <=>\bigcup_{i \in I} A_{i}
[/mm]
[mm] <=>\bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_{i})
[/mm]
Ist das so ok, ober darf man das nciht so machen?
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Di 28.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Dein Beweis ist ziemlich konfus. Gleichheit von zwei Mengen $A,B$ zeigt man, indem man [mm] $A\subset [/mm] B$ und [mm] $B\subset [/mm] A$ zeigt. [mm] $A\subset [/mm] B$ zeigt man, indem man sagt "Sei [mm] $x\in [/mm] A$ ... dann ist [mm] $x\in [/mm] B$".
Beispiel: Wir wollen [mm] $f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)\subset \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$ [/mm] zeigen.
Sei also [mm] $x\in f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)$ [/mm] beliebig. Dann ist [mm] $f(x)\in\bigcup_{i\in I}B_i$, [/mm] d.h. [mm] $f(x)\in B_{i_0}$ [/mm] für ein [mm] $i_0\in [/mm] I$, also [mm] $x\in f^{-1}(B_{i_0})$. [/mm] Dann ist aber erst recht auch [mm] $x\in\bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$. [/mm] Fertig.
Die Rückrichtung (also [mm] $A\supset [/mm] B$) geht genauso.
Gruß, Robert
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