Abbildung von Vierecken < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist das Viereck [mm] V_{1} [/mm] mit den Punkten:
[mm] P_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -1} [/mm] ; [mm] P_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] ; [mm] P_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ; [mm] P_{4} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}.
[/mm]
Ferner ist ein allgemeines nicht entartetes und konvexes Viereck [mm] V_{2} [/mm] gegeben mit den Punkten:
[mm] S_{1} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ y_1} [/mm] ; [mm] S_{2} [/mm] = [mm] \vektor{x_2 \\ y_2} [/mm] ; [mm] S_{3} \vektor{x_3 \\ y_3} [/mm] ; [mm] S_{4} \vektor{x_4 \\ y_4}
[/mm]
Dabei gilt [mm] x_{1},...,x_{4} \in \IR
[/mm]
Gesucht ist diejenige Abbildungsmatrix A(x), welche das Viereck [mm] V_{1} [/mm] auf das Viereck [mm] V_{2} [/mm] abbildet. |
Gibt es so eine Abbildungsmatrix?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm ne Matrix [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Bilde P1 ab: Ergebnis S1 usw.
Endergebnis 8 Gleichungen für die 4 Unbekannten a,b,c,d mit Koeffizienten x1 bos y4.
Ist das System lösbar? Dann gibts ein A. Dabei berücksichtigen dass alle S verschieden sind und auch nicht 3 auf einer Geraden liegen!(Viereck nicht entartet!)
Gruss leduart
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| Aufgabe | Vielen Dank für deinen Ansatz,
er hat mir sehr geholfen.
Leider musste ich dabei rausfinden, dass es eine Lösung nur
für den Fall gibt:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{3} [/mm]
[mm] \wedge [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -x_{4}
[/mm]
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] -y_{3} [/mm]
[mm] \wedge [/mm]
[mm] y_{2} [/mm] = [mm] -y_{4}
[/mm]
Das heißt: für alle Rauten, deren Diagonalen sich im Ursprung kreuzen
Die Abbildungsmatrix lautet dann:
A = [mm] \pmat{ - \bruch{x_{1} + x_{4}}{2} & - \bruch{x_{1} + x_{2}}{2} \\ - \bruch{y_{1} + y_{4}}{2} & - \bruch{y_{1} + y_{2}}{2}} [/mm] |
Eine sehr interessante Frage, die sich daraus ergibt ist die,
welche Funktion das ursprüngliche Viereck [mm] V_{1} [/mm] bzw.
die Menge [mm] [-1,1]\times[-1,1] [/mm] auf ein beliebiges anderes Viereck im [mm] \IR\times\IR
[/mm]
abbildet.
Wie beschreibt man solch eine Abbildungsvorschrift?
Eine einfache [mm] 2\times2 [/mm] Matrix genügt ja offensichtlich nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine Abbildung der Ebene ist durch das Bild von 2 Vektoren eindeutig bestimmt, also kannst du nur ein Dreieck auf ein anderes abbilden. bzw. ein Viereck, wenn dann die Diagonalen passen.
Ich hab dein Ergebnis nicht überprüft, sieht aber gut aus.
Gruss leduart
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