Abbildung von versch. Vektoren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Vektorräume V und W, eine lineare Abbildung V -> W sowie eine endliche Teilmenge [mm] {v_{1}, ... v_{n}} \subseteq [/mm] V.
Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:
a) [mm] v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] sind linear abhängig
[mm] \Rightarrow T(v_{1}) [/mm] ... T [mm] (v_{n}) [/mm] sind linear abhängig.
b) [mm] v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] sind linear unabhängig
[mm] \Rightarrow T(v_{1}) [/mm] ... T [mm] (v_{n}) [/mm] sind linear unabhängig.
c) [mm] T(v_{1}) [/mm] ... T [mm] (v_{n}) [/mm] sind linear abhängig [mm] \Rightarrow v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] sind linear abhängig
d) [mm] T(v_{1}) [/mm] ... T [mm] (v_{n}) [/mm] sind linear unabhängig [mm] \Rightarrow v_{1}, [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] sind linear unabhängig |
Hier also meine Lösungen
a) Stimmt würde ich sagen, da durch lineare Abbildungen nicht die Ordnung verschoben werden kann also wenn [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] v_{2}, [/mm] so ist auch [mm] T(v_{1}) [/mm] = [mm] T(\lambda [/mm] * [mm] v_{2}) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] T(v_{2})
[/mm]
b) Da bin ich mir nicht ganz sicher. Angenommen, ich würde alle Vektoren aus V auf die 0 abbilden, so wären sie ja linear abhängig. Ist dies dann aber noch eine lineare Abbildung?
c) Stimmt nicht, wenn man vom Speziallfall in b) ausgeht.
d) Stimmt (glaube ich), siehe a).
Ich hoffe, ihr könnt mir ein bisschen weiterhelfen und meine Vermutungen bestätigen bzw widerlegen.
Vielen Dank schonmal für alle Antworten.
Gruß,
Thomas
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> Gegeben seien zwei Vektorräume V und W, eine lineare
> Abbildung V -> W sowie eine endliche Teilmenge [mm]{v_{1}, ... v_{n}} \subseteq[/mm]
> V.
> Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:
>
> a) [mm]v_{1},[/mm] ... [mm]v_{n}[/mm] sind linear abhängig
> [mm]\Rightarrow T(v_{1})[/mm] ... T [mm](v_{n})[/mm] sind linear abhängig.
>
> b) [mm]v_{1},[/mm] ... [mm]v_{n}[/mm] sind linear unabhängig
> [mm]\Rightarrow T(v_{1})[/mm] ... T [mm](v_{n})[/mm] sind linear
> unabhängig.
>
> c) [mm]T(v_{1})[/mm] ... T [mm](v_{n})[/mm] sind linear abhängig [mm]\Rightarrow v_{1},[/mm]
> ... [mm]v_{n}[/mm] sind linear abhängig
>
> d) [mm]T(v_{1})[/mm] ... T [mm](v_{n})[/mm] sind linear unabhängig
> [mm]\Rightarrow v_{1},[/mm] ... [mm]v_{n}[/mm] sind linear unabhängig
> Hier also meine Lösungen
>
> a) Stimmt würde ich sagen,
Hallo,
da hast Du recht.
> da durch lineare Abbildungen
> nicht die Ordnung verschoben
??? Welche Ordnung? Wie ist das definiert?
> werden kann also wenn [mm]v_{1}[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]v_{2},[/mm] so ist auch [mm]T(v_{1})[/mm] = [mm]T(\lambda[/mm] * [mm]v_{2})[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm]T(v_{2})[/mm]
Ja, ein vollständiger Beweis ist das aber noch nicht.
Du hast ja eine Menge von n Vektoren, welche linear abhängig ist, da mußt Du Dir noch ein bißchen was einfallen lassen. Arbeite mit der Definition der linearen Abhängigkeit.
>
> b) Da bin ich mir nicht ganz sicher. Angenommen, ich würde
> alle Vektoren aus V auf die 0 abbilden, so wären sie ja
> linear abhängig. Ist dies dann aber noch eine lineare
> Abbildung?
Ja. sie ist zwar sehr langweilig, aber linear. Rechne es doch nach!
>
> c) Stimmt nicht, wenn man vom Speziallfall in b) ausgeht.
???
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> d) Stimmt (glaube ich), siehe a).
Ja, das ist die Kontraposition v. a).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Audience |
Sorry für meine inpräzise Formulierung. Mit Ordnung meinte ich eigentlich nur, dass linear abhängige Vektoren nicht plötzlich so "verschoben" (durch die Abbildung) werden können, dass sie plötzlich lin. unabhängig wären.
zu b) Also ist die gesamte Aussage [mm] (v_{1} [/mm] .. [mm] v_{n} [/mm] unabhängig impliziert T(..) unabhängig) falsch(?), denn ich kann eine Abbildung finden, die linear unabhängige Vektoren auf linear abhängige (Nullvektoren) abbildet.
zu c) Damit meinte ich, dass dies die Kontraposition zu b) ist, also auch falsch, denn der Kern kann ja linear unabhängige Vektoren enthalten.
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> Sorry für meine inpräzise Formulierung. Mit Ordnung meinte
> ich eigentlich nur, dass linear abhängige Vektoren nicht
> plötzlich so "verschoben" (durch die Abbildung) werden
> können, dass sie plötzlich lin. unabhängig wären.
>
> zu b) Also ist die gesamte Aussage [mm](v_{1}[/mm] .. [mm]v_{n}[/mm]
> unabhängig impliziert T(..) unabhängig) falsch(?), denn ich
> kann eine Abbildung finden, die linear unabhängige Vektoren
> auf linear abhängige (Nullvektoren) abbildet.
Ja. Du kannst sehr viele solche Abbildungen finden, nicht nur die Nullabbildung.
>
> zu c) ...also auch falsch,
Ja.
Gruß v. Angela
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