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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Abbildung wohldef & bijektiv
Abbildung wohldef & bijektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildung wohldef & bijektiv: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Fr 11.05.2007
Autor: franzl87

Aufgabe
Zeige, das folgende Abbildung wohl definiert und bijektiv ist.
{ A [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] | [mm] A^{T}=-A [/mm] } [mm] \to [/mm] { [mm] Q\in SO_{n}(\IR)|-1 [/mm]  kein Eigenwert von Q}.
A [mm] \mapsto (E-A)(E+A)^{-1} [/mm]

Hallo,

danke das ihr euch meinem Problem annehmt.Ich weis nicht so recht wie ich die Bijektivität und Wohldefiniertheit zeigen soll. Könnt ihr mir helfen?

Freue mich auf eure Antworten, vielen Dank

Franz

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abbildung wohldef & bijektiv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:26 Fr 11.05.2007
Autor: Karsten0611

Hallo Franz!

> Ich weis nicht so
> recht wie ich die Bijektivität und Wohldefiniertheit zeigen
> soll. Könnt ihr mir helfen?


Wohldefiniertheit bedeutet, daß die so vorgegebene Abbildung immer Ergebnisse in der angegebenen Wertemenge liefert, also eben keine, die nicht in der Wertemenge landen. Sind

X = { A [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] | [mm] A^{T}=-A [/mm] } und
Y = { [mm] Q\in SO_{n}(\IR)|-1 [/mm]  kein Eigenwert von Q},

so mußt Du zeigen, daß zu beliebigem A [mm] \in [/mm] X das Ergebnis von [mm] (E-A)(E+A)^{-1} [/mm] in Y liegt, d.h. also daß die Matrix [mm] (E-A)(E+A)^{-1} [/mm] sowohl in [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] liegt, als auch, daß -1 kein Eigenwert dieser Matrix ist.

LG
Karsten



Bezug
                
Bezug
Abbildung wohldef & bijektiv: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Di 15.05.2007
Autor: dorftrottel

Hallo Karsten,

seht guter Tipp! da kann ich nichts hinzufügen :), ist alles klar Franz?

schöne grüße

Gerorg

Bezug
        
Bezug
Abbildung wohldef & bijektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Di 15.05.2007
Autor: Karsten0611

Hallo nochmal, Franz!

Bezüglich Bijektivität noch eine Idee, die ich jetzt allerdings nicht durchgerechnet habe: Du könntest versuchen die beiden Mengen als Vektorräume und die gegebene Abbildung als Homomorphismus nachzuweisen. Möglicherweise liefert Dir der Homomorphiesatz für Vektorräume [mm] V/\ker(\varphi) \cong \varphi(V)[/mm] die Antwort.

Schlimmstenfalls mußt Du die Bijektivität "zu Fuß" durchrechnen.

LG
Karsten

Bezug
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