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| Aufgabe | Untersuchen Sie (mit Beweis), ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv, bijektiv sind.
f: [mm] \mathcal{P} [/mm] (M) [mm] \to \mathcal{P} [/mm] (M), N [mm] \to [/mm] M [mm] \backslash [/mm] N, wobei M eine beliebige Menge ist und [mm] \mathcal{P} [/mm] ihre Potenzmenge bezeichnet |
Hallo Leute,
habe versucht diese Aufgabe zu lösen, bin auch recht weit gekommen, denke ich, mir fehlt aber irgendwie das verständnis, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen:
Seien N, N' Teilmengen von M, so existiert m [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] N' und m [mm] \in [/mm] N [mm] \backslash [/mm] N', also m [mm] \not\in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] N... so, soweit ist mir alles klar, aber wie gehts jetzt weiter und vorallem was isses denn jetzt und warum? Inj, surj, bij?? Habe Probleme diese 3 Varianten zuzuordnen...
Vielen dank schonmal im Voraus
mfg
adrenaline
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Hallo,
also Dein f bildet ja jede Teilmenge U von M ab auf eine Teilmenge [mm] f(U)=M\setminus [/mm] U von M. Injektiv waere f also genau dann, wenn fuer je zwei Teilmengen U,U' von M mit [mm] U\neq [/mm] U' auch [mm] f(U)\neq [/mm] f(U') gilt. Es ist aber doch fuer [mm] U\neq [/mm] U'
[mm] f(U)=M\setminus [/mm] U [mm] \neq M\setminus [/mm] U'=f(U')
(von mir aus kannst Du das gerne noch expliziter ueber Deinen Ansatz via Elemente sagen:
Wenn [mm] U\neq [/mm] U' , so gibt es ohne Einschraenkung der Allgemeinheit
[mm] u\in U\setminus [/mm] U' (sonst vertausche U und U' in der folgenden Argumentation),
und dann ist also
[mm] u\in M\setminus [/mm] U' =f(U'), aber [mm] u\neq M\setminus [/mm] U=f(U).
Also ist f injektiv.
f ist auch surjektiv: Zu jedem [mm] U\subseteq [/mm] M gibt es [mm] V\subseteq [/mm] M mit f(V)=U, nämlich
[mm] V=M\setminus [/mm] U.
Damit ist also auch f bijektiv.
Viele Gruesse,
Mathias
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Vielen Dank für deine Antwort, das alles leuchtet mir ein, habe aber trotzdem Probleme mit der Imaginären Veranschaulichung von Surj, inj, bij.
Kann mir jemand da ein etwas konkreteres Beispiel geben nur damit ich ein grobes Bild in meinem Kopf für diese Verfahren bekomme?
mfg
adrenaline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Adrenaline!
Am besten du schaust dir mal die entsprechende Seite in der Mathebank hierzu an.
Injektive Abbildungen bilden verschiedene Elemente auf verschiedene Elemente im Zielbereich ab.
Surjektive Abbildungen treffen jedes Element im Zielbereich (eventuell auch mehrfach).
Bijektive Abbildungen treffen jedes Element im Zielbereich genau einmal.
Soviel zum Umgangssprachlichen... Jezt bist du daran, den mathematischen Kalkül dahinter entsprechend zu verstehen.
Liebe Grüße
Julius
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Ok, danke ich habe mir die Definitionen mehrfach angeschaut, allerdings komme ich nicht dahinter, warum z.B.
[mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] f(x)
f(x) = x² weder injektiv noch surjektiv sein soll, weil es werden doch zwei Werte aus dem Def.Bereich in den Bildbereich zu einem Wert zugeordnet und das ist für mich surjektiv. Z.B. x = -1 und x = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = 1.
Was mir auffällt, ist dass nur immer die positiven Werte im Bildbereich abgebildet werden können und der Def.Bereich voll ausgenutzt wird. Dabei ist doch aber auch der positive Teil des Bildbereiches Teilmenge aus [mm] \IR...
[/mm]
Villeicht ist es gerade deswegen nicht surjektiv, weil der gesamte Bildbereich abgebildet werden muss, also ich weiss es nicht.
mfG
adrenaline
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 27.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Villeicht ist es gerade deswegen nicht surjektiv, weil der
> gesamte Bildbereich abgebildet werden muss, also ich weiss
> es nicht.
genau das ist es - nur wenn jedes Element aus dem Bildbereich auch angenommen wird von der Funktion f, ist f surjektiv.
f ist nicht injektiv, wenn es zwei verschiedene Elemente aus dem Def.Bereich gibt, die denselben Funktionswert haben, d.h. die auf dasselbe Element im Bildbereich abgebildet werden - auch hierfür hattest du mit x=1 und x=-1 schon ein richtiges Beispiel gegeben.
ich kann nur nochmal die folgenden Sätze (Zitat aus dem Link) betonen:
"
Eine Funktion f heißt:
- injektiv, wenn zwei voneinander verschiedene Elemente aus dem Definitionsbereich stets auch auf zwei voneinander verschiedene Elemente des Zielbereiches abgebildet werden
- surjektiv, wenn für jedes Element des Zielbereiches ein Element im Definitionsbereich so existiert, dass dieses Element des Definitionsbereiches durch f auf das Element des Zielbereiches abgebildet wird
"
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Fr 27.01.2006 | | Autor: | adrenaline |
Alles klar, vielen dank für eure Hilfen...!!!!
Sehr nett, dass ihr euch die Zeit nehmt, werde mich auch gut möglichst beteiligen!!
Tolle Seite,
mit hochachten an den Ersteller
adrenaline
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