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| Aufgabe | Seien f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C Abbildungen. Bweisen sie:
Falls f,g injektiv sind,dann sind auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
Falls f,g surjektiv sind,dann sind auch g [mm] \circ [/mm] f surjektiv |
Hallo zusammen,ich habe leider keine Ahnung wie ich die Aufgabenstellung beweisen soll. Hoffe mir kann jemand helfen!!
DANKE im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 05.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C Abbildungen. Bweisen sie:
> Falls f,g injektiv sind,dann sind auch g [mm]\circ[/mm] f
> injektiv.
> Falls f,g surjektiv sind,dann sind auch g [mm]\circ[/mm] f
> surjektiv
> Hallo zusammen,ich habe leider keine Ahnung wie ich die
> Aufgabenstellung beweisen soll. Hoffe mir kann jemand
> helfen!!
Wie lautet denn die Definition von injektiv und surjektiv? Sprich, was musst du fuer $g [mm] \circ [/mm] f$ nachrechnen? Schreib das doch erstmal hier hin.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Mo 06.11.2006 | | Autor: | cosmos321 |
Hallo, ich glaube ich hab eine Lösung zu den Aufgaben gefunden ich hoffe sie ist richtig:
zu eins: Es seien [mm] (x,y)\in [/mm] X und x [mm] \not= [/mm] y , da nun f injektiv ist folgt:
f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) ; aufgrund dessen, dass g auch injektiv ist folgt:
g(f(x)) [mm] \not= [/mm] g(f(y)) [mm] \Rightarrow [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(x) [mm] \not= [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(y) ; somit ist g [mm] \circ [/mm] f ebenfalls injektiv q.e.d
zu zwei: also es sei: h: A [mm] \to [/mm] C
Daraus: Da g surjektiv ist gibt es ein b [mm] \in [/mm] B mit g(b)=c. Da aber auch f surjektiv ist gibt es auch ein a [mm] \in [/mm] A mit f(a)=b.
Daraus folgt aufgrund von g(f(a))=g(b)=c , dass h:A [mm] \to [/mm] C mit h=g(f), also die Hintereinanderausführung zweier Funktionen ebenfalls wieder surjektiv ist.
q.e.d
Ich hoffe jetzt dass das auch richtig ist, ansonsten würde es mich freuen, wenn mich jemand korrigiert.!
DANKE
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Mo 06.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
im Grunde sind die Lösungsideen richtig, aber nur ein paar Kleinigkeiten:
> zu eins: Es seien $ [mm] (x,y)\in [/mm] $ X und x $ [mm] \not= [/mm] $ y ,
du meinst wohl [mm] $x,y\in [/mm] A$ mit [mm] $x\not= [/mm] y$, ...
zur zweitens :
>zu zwei: also es sei: h: A $ [mm] \to [/mm] $ C
wozu willst du eine neue Funktion einführen - die wird nicht wirklich gebraucht...
> Da g surjektiv ist gibt es ein b $ [mm] \in [/mm] $ B mit g(b)=c.
Hier ist gaanz wichtig, dass c beliebig aus C gewählt werden kann - das muss also unbedingt dabei stehen.
aber ansonsten passt es...
viele Grüße
DaMenge
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