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Hallo. Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie das Bild von f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] |x|-1 sowie die Urbildmenge [mm] f^{-1}({y}) [/mm] für y [mm] \in \IR
[/mm]
Zunächst zum Bild. Wie soll ich das denn bestimmen??? Suche ich mir jetzt zahlen aus oder reicht es zu schreiben, dass das Bild f{ [mm] \IR [/mm] }={ [mm] \IR [/mm] } ist [mm] \Rightarrow [/mm] f( [mm] D_f [/mm] ) [mm] \subset W_f??? [/mm] Wenn nicht, würde ich mir zahlen suchen und die Funktion eventuell skizzieren.
Bitte helft mir. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
> Zunächst
> zum Bild. Wie soll ich das denn bestimmen???
Hinsehen und in Ruhe darüber Nachdenken. Dann Behauptung aufstellen und beweisen. Der Letzte Teil läuft am einfachsten so ab, dass du dir ein beliebiges Element y aus dem prophezeiten Wertebereich nimmst und ein Element x aus dem Def.-Bereich angibst mit f(x)=y. Dann noch die andere Richtung, also dass der Wertebereich nicht größer als behauptet ist.
Beides zusammen zeigt die beiden Inklusionen, und damit Mengengleichheit.
> [mm] $f\{\IR\}=\{\IR\}$ [/mm]
Klammerung nicht korrekt, ich denke du meinst [mm] f(\IR)=\IR [/mm]
Kann das sein? Welches x liefert f(x)=-38?
>[mm]\Rightarrow[/mm] f( [mm]D_f[/mm] ) [mm]\subset W_f???[/mm]
Das folgt aus f( [mm]D_f[/mm] ) [mm]=W_f[/mm], der Definition des Wertebereichs.
> Wenn nicht, würde ich mir zahlen suchen und die Funktion
> eventuell skizzieren.
>
> Bitte helft mir. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Ja gut. Aber welche Behauptung soll ich aufstellen? Ich weiß ja nicht was die hören wollen. Wollen die wissen ob die Funktion injektiv oder surjektiv ist???
Dann wäre meine Behauptung, dass die Funktion nicht injektiv ist. Mein Beweis dazu f(1)=f(-1)=0
Urbildmenge müsste ja dann etwas mit der surjektivität zu tun haben. Wie beweise ich das am besten? Ich hatte mir bisher immer die Umkehrfunktion gebildet und das denn gemacht. Allerdings würde ich so aufm ersten Blick sagen, dass die Funktion nicht surjektiv ist, da sie ja auf [mm] \IR [/mm] nur bis -1 abgebildet wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
>da sie ja auf [mm]\IR[/mm]
> nur bis -1 abgebildet wird.
Ja genau dass ist der erste Schritt, gib die Menge bitte einmal explizit an, das ist dann deine Behauptung.
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Also sie ist ja nur auf dem Intervall [mm] [-1,+\infty[ [/mm] definiert und das schließt ja nicht ganz [mm] \IR [/mm] ein das heißt, dass ] -1, [mm] -\infty [/mm] [ garnicht definiert ist. Da wir uns aber im Bereich der reellen zahlen befinden, muss das Intervall [mm] ]-1,-\infty[ [/mm] mit einbeschlossen sein. Da dies nicht der Fall ist, ist die Funktion nicht surjektiv.
Also schreibe ich jetzt .
Bestimmen Sie das Bild von f:
Die Funktion ist nicht injektiv, da z.B. gilt f(-1)=f(1)=0
Bestimmen Sie die Urbildmenge [mm] f^{-1}({y}) [/mm] für y [mm] \in \IR:
[/mm]
Die Funktion ist nicht surjektiv da Sie nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] bzw. nicht auf dem Intervall ] -1, [mm] -\infty [/mm] [ definiert ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ich glaube nicht *g*
$f: [mm] \IR \to [/mm] .....$
Also definiert ist sie auf jeden Fall auf [mm] \IR...
[/mm]
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Okay aber wie stelle ich das dann für die surjektivität an???
Ich habe dazu irgendwie keine richtige Idee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Sie ist nicht surjektiv, die Menge [mm] [-1,\infty) [/mm] war schon korrekt, aber die Funktion ist nicht nur dort definiert, sondern das ist ihr Wertebereich [mm] W_f
[/mm]
Ansatz:
Behauptung: [mm] W_f=[-1,\infty)
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] $y\in [-1,\infty)$ [/mm] beliebig. Definiere $x:=______$ (was muss da hin?)
Dann gilt: $f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow [/mm] y [mm] \in W_f$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [-1,\infty) \subset W_f$
[/mm]
Sei nun [mm] $y\in W_f$
[/mm]
[...hier bitte Beweis einkleben^^...]
[mm] $\Rightarrow y\in [-1,\infty)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow W_f \subset [-1,\infty)$
[/mm]
Aus beiden Inklusionen folgt die Beh.
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