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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Sa 09.08.2008 | | Autor: | katze05 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie ist denn das mit der Komposition von Abbildungen?
so oder ähnlich finde ich es überall:
es seien f:X [pfeil] Y und g:Y[pfeil]V Abbildungen.
wir definieren die komposition f mit g durch:
g [kringel] f: X [pfeil] V, x [pfeil] g(f(x))
aber: f(x) steht doch für die elemente von im(f). der definitionsbereich von g ist aber Y. wie kann das sein??
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wie ist denn das mit der Komposition von Abbildungen?
> so oder ähnlich finde ich es überall:
> es seien $f:X [mm] \to\red{Y}$ [/mm] und [mm] $g:\red{Y}\to [/mm] V$ Abbildungen.
> wir definieren die komposition f mit g durch:
> $g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to [/mm] V, x [mm] \mapsto [/mm] g(f(x))$
> aber: f(x) steht doch für die elemente von im(f). der
> definitionsbereich von g ist aber Y. wie kann das sein??
Kein Problem. Denn der Wertebereich von $f$ war ausdrücklich gleich $Y$, d.h. gleich dem Definitionsbereich von $g$ vorausgesetzt. Also ist [mm] $f(x)\in \red{Y}$ [/mm] und daher ist $g(f(x))$ sehr wohl definiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 09.08.2008 | | Autor: | katze05 |
Aber bei einer Abbildung muss nicht auf alle Elemente des Wertebereichs abgebildet werden, d.h. im(f) ist zwar Teilmenge von Y, im Allgemeinen gilt aber nicht im(f)=Y. Der Definitionsberich von g ist aber Y, d.h. JEDEM Element von Y muss ein Elemnent von V zugeordnet werden. Die Zuordnungsvorschrift g(f(x)) bezieht sich aber nur auf die Werte f(x), also nur auf die Elemente von im(f).
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast f: [mm] X\to [/mm] Y
g: Y [mm] \to [/mm] V,
und Du betrachtest nun
[mm] h:=g\cirx [/mm] f: X [mm] \to [/mm] V.
Der Definitionsbereich dieser Funktion h ist X,
und die Funktion h ist wohldefiniert, denn weil der Definitionsbereich von g die Menge Y ist und [mm] f(X)\subseteq [/mm] Y, ist garantiert, daß h(x)=g(f(x)) an jeder Stelle x erklärt ist.
Daß f(x) eventuell nicht surjektiv ist, macht doch nichts. Entscheident ist, daß die Bilder von X unter der Abbildung alle in Y liegen.
Betrachten wir als Beispiel
[mm] f:\IR \to \R
[/mm]
f(x):=x²
g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
g(x):=x-2
Nun schauen wir [mm] g\circ [/mm] f an.
Der Definitionsbereich ist [mm] \IR.
[/mm]
Daß [mm] f(\IR) [/mm] nur aus den nichtnegativen Zahlen besteht, "stört" [mm] g\circ [/mm] f doch nicht. Entscheident ist, daß die Funktion g für alle [mm] x\in \IR [/mm] weiß, was sie mit f(x) machen soll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Sa 09.08.2008 | | Autor: | katze05 |
Vielen Dank!!
Jetzt hab ich's endlich kapiert. Mir war irgendwie nicht bewusst, dass es sich um eine dritte Abbildung und nicht um g selbst handelst!
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