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| Aufgabe | Sei $ f: A -> B.$ Wenn [mm] $A_1,A_2\subseteq [/mm] A $ so folgt [mm] $f(A_1\cap A_2)\subseteq$f(A_1) \cap f(A_2)$.
[/mm]
Zeigen Sie: wenn f injektiv ist, dann gilt gleichheit. |
[mm] $f(A_1\cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$
[/mm]
Hab das gezeigt.
Hab auch ein Beispiel gezeigt(bei einer injektiven Abbildung), da nicht Gleichheit gilt.
Tutor schrieb uns dazu auf:
[mm] $a_1 \not= a_2 [/mm] $ so ist [mm] $f(a_1) \not= f(a_2)$
[/mm]
ja die definition von injektiven abbildungen.
Injektiv Einschränke auf ihr Bild
Bijektiv eindeutige Abbildung => Gleichheit
a -> f(a) so gilt Bild (f) ist bijektiv
[mm] $f(A_1\cap A_2)= f(A_1) \cap f(A_2)$.
[/mm]
Soll das wer verstehen?
Kann mich wer aufklären, was er damit genau meint?
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moin theresetom,
Poste am besten mal deinen Beweis für die Teilmengenrelation.
Und dann guck mal, ob du bei den Folgerungen im Beweis Äquivalenzen draus machen kannst.
Wenn ja dann hast du ja Gleichheit gezeigt.
Es wird in dem Beweis irgend eine Stelle geben, wo du aus der Folgerung keine Äquivalenz machen kannst, an dieser Stelle wirst du dann die Injektivität brauchen; aber wie und wo genau kann ich dir natürlich erst sagen, wenn du den Beweis postest.
lg
Schadow
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:53 Sa 29.10.2011 | | Autor: | theresetom |
wir sollen es aber nicht per beweis posten sondern per erklärung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Sa 29.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> wir sollen es aber nicht per beweis posten sondern per
> erklärung.
Könntest du das bitte ein wenig erläutern? Du suchst gar keinen Beweis für die Behauptung, dass im Falle $f$ injektiv Gleichheit gilt?
Schadowmaster hat schon einen Vorschlag gemacht, wie du zu so einem Beweis gelangen könntest. Was genau erwartest du anderes?
Viele Grüße
Tobias
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Naja der Tutor hat dies ja auch nicht anhand eines Beweises gezeigt - so dachte ich muss hier keinen beweis verwenden.
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> Naja der Tutor hat dies ja auch nicht anhand eines Beweises
> gezeigt - so dachte ich muss hier keinen beweis verwenden.
Dazu mal ein paar Kommentare:
1. Wenn du etwas zeigen sollst ist ein Beweis immer besser als eine Erläuterung;
ich hab auch noch nie eine Aufgabe gesehen, in dem ein Beweis explizit verboten war.^^
2. Wenn es deine Aufgabe ist das zu beweisen wird der Tutor dir ja wohl kaum den ganzen Beweis vormachen, oder?^^
3. Ich nehme an das, was dir der Tutor erzählt hat, war eine Beweisidee.
Eine Grundidee, auf die du einen Beweis aufbauen könntest.
Entweder weil der gesamte Beweis zu viel Zeit in Anspruch genommen hätte, weil der Beweis mit der Idee (aus Sicht des Tutors) kein Problem mehr ist oder weil er dir nur einen Tipp geben wollte sodass du den Beweis hinkriegst.
Also beweise es einfach, falsch wird es keinesfalls sein. ;)
lg
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Sa 29.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> Tutor schrieb uns dazu auf:
> [mm]a_1 \not= a_2[/mm] so ist [mm]f(a_1) \not= f(a_2)[/mm]
> ja die
> definition von injektiven abbildungen.
> Injektiv Einschränke auf ihr Bild
> Bijektiv eindeutige Abbildung => Gleichheit
> a -> f(a) so gilt Bild (f) ist bijektiv
> [mm]f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1) \cap f(A_2)[/mm].
>
> Soll das wer verstehen?
> Kann mich wer aufklären, was er damit genau meint?
Ich kann dir nur zustimmen! Bei einer an sich derart harmlosen Aufgabe einen solchen Kauderwelsch zu produzieren, da gehört schon einiges dazu... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Als Übungsleiter hätte ich deinem Tutor 0 Punkte gegeben, da die "Lösung" (?) schlicht nicht nachvollziehbar ist.
Falls doch jemand erraten kann, was gemeint war, kann derjenige gerne seine Interpretation hier posten...
Viele Grüße
Tobias
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Kann mir jemand vielleicht mit einer Argumentation helfen?
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Okay ich versuch es mal mit Beweis.
zu beweisen gilt nun dass
[mm] $f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2)$
[/mm]
den umgekehrten fall habe ich schon bewiesen. Aber wenn dieser Fall auch gilt so gilt Gleichheit.
b [mm] \in f(A_1) \cap f(A_2)
[/mm]
b [mm] \in f(A_1) [/mm] so existiert ein [mm] a_1 [/mm] aus [mm] A_1 [/mm] so dass [mm] f(a_1) [/mm] = b
und b [mm] \in f(A_2) [/mm] so existiert ein [mm] a_2 [/mm] aus [mm] A_2 [/mm] so dass [mm] f(a_2) [/mm] = b
Da f injektiv ist [mm] f(a_1) [/mm] = [mm] f(a_2) [/mm] => [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] sein
[mm] a_1=a_2 \in A_1 \cap A_2
[/mm]
b [mm] \in [/mm] f [mm] (A_1 \cap A_2)
[/mm]
Totaler Blödsinn?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 29.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Okay ich versuch es mal mit Beweis.
>
> zu beweisen gilt nun dass
> [mm]f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2)[/mm]
> den
> umgekehrten fall habe ich schon bewiesen. Aber wenn dieser
> Fall auch gilt so gilt Gleichheit.
>
> b [mm]\in f(A_1) \cap f(A_2)[/mm]
> b [mm]\in f(A_1)[/mm] so existiert ein [mm]a_1[/mm]
> aus [mm]A_1[/mm] so dass [mm]f(a_1)[/mm] = b
> und b [mm]\in f(A_2)[/mm] so existiert ein [mm]a_2[/mm] aus [mm]A_2[/mm] so dass
> [mm]f(a_2)[/mm] = b
>
> Da f injektiv ist [mm]f(a_1)[/mm] = [mm]f(a_2)[/mm] => [mm]a_1[/mm] = [mm]a_2[/mm] sein
> [mm]a_1=a_2 \in A_1 \cap A_2[/mm]
> b [mm]\in[/mm] f [mm](A_1 \cap A_2)[/mm]
>
> Totaler Blödsinn?
Nein, alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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yeah.. also kann ich es so lassen?
muss ich noch in dem beweis einen Gegenbeweis einbauen, wenn die abbildung nicht injektiv ist=?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Sa 29.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> yeah.. also kann ich es so lassen?
Ja.
> muss ich noch in dem beweis einen Gegenbeweis einbauen,
> wenn die abbildung nicht injektiv ist=?
Wenn die Aufgabenstellung wie im Ausgangspost angegeben vollständig war, ist gar kein solches Gegenbeispiel gefordert.
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Wenn es dastehen würde?
Der Gegenbeweis kann dann einfach mit einem Beispiel erfolgen oder?
z.B injektive Abbildung
f [mm] x->x^2
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \IN
[/mm]
[mm] A_2= [/mm] - [mm] \IN
[/mm]
[mm] A_1 \cap A_2 [/mm] = {} f( [mm] A_1 \cap A_2) [/mm] ={}
[mm] f(A_1) \cap f(A_2) [/mm] = {4,9,16...}
Oder müsste es dann noch anders mit einen allgemeinen Beweis angeführt werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Sa 29.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
Wenn man zeigen will, dass eine beh. nicht wahr ist, riecht immer ein gegenbeispiel!
Gruss lduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Sa 29.10.2011 | | Autor: | theresetom |
Danke an alle !!
Schöne Samstag-nacht.
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